Considere uma equação diferencial da forma
, onde
é um polinômio de grau 3 que tem 3 raízes distintas
e
, satisfazendo
. Classifique as proposições abaixo em verdadeiro ou falso. Justifique suas afirmações.
(i) Se
e
são pontos de equilíbrio estável, então
também é um ponto de equilíbrio estável.
(ii) Se
é uma solução de equilíbrio instável e
é uma solução de equilíbrio estável, então existe um ponto
com
, no qual
.
(iii) Se
é uma solução de equilíbrio instável, existem soluções da EDO para as quais
.
(i) Se
(ii) Se
(iii) Se
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial do tipo
, onde
é um polinômio de grau 3 com três raízes reais distintas
. O que se pede é dizer se cada uma das três proposições (i), (ii) e (iii) é verdadeira ou falsa, e justificar cada resposta.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- •EDO: y'=f(y).
- •f é um polinômio cúbico com três raízes simples distintas }a<b<c.
- •As três proposições a serem classificadas:
- Se
e são equilíbrios estáveis, então também é estável. - Se
é instável e é estável, então existe um ponto com tal que . - Se
é instável, existem soluções da EDO para as quais .
Passo 2
Representação canônica e critério de estabilidade (aula rápida). Como
é um polinômio de grau 3 com raízes simples
, podemos escrever
onde
é o coeficiente líder. Para estudar estabilidade de um equilíbrio
(onde
), usamos a linearização: se
com
pequeno, então
Resultado padrão: se
então
é assintoticamente estável (pequenas perturbações decaem), e se
então
é instável (perturbações crescem). Aqui
pode ser calculado diretamente:
Note que, porque
, os sinais de
são conhecidos e fixos.
Passo 3
Análise do padrão de sinais de
nos três equilíbrios (explicação detalhada). Como
temos os sinais:
Multiplicando por
:
- Se
então Ou seja, para os equilíbrios ficam: instável, estável, instável. - Se
todos os sinais se invertem, então ou seja, para os equilíbrios ficam: estável, instável, estável.
Resumo didático e intuitivo: os equilíbrios alternam estabilidade na linha de fase; para um cúbico com raízes simples a alternância é estável/instável/estável ou instável/estável/instável, dependendo apenas do sinal de
.
Passo 4
Resposta e justificativa para (i). A proposição afirma: “Se
e
são pontos de equilíbrio estável, então
também é um ponto de equilíbrio estável.”
Pela análise do passo anterior, para e
serem estáveis é necessário que
. Quando
obtivemos que
, ou seja,
é instável. Portanto a conclusão da proposição é falsa: é possível ter
e
estáveis e
instável. Um exemplo concreto (pegue os números para visualizar): escolha
,
,
e
Pela análise do passo anterior, para
Calcule
, logo
é instável enquanto
e
são estáveis. Conclusão: (i) é falso.
Passo 5
Resposta e justificativa para (ii). A proposição afirma: “Se
é instável e
é estável, então existe um ponto
com
tal que
.” Vamos desmontar isso com argumentos simples e didáticos.
Primeiro observação fundamental: para qualquer solução
vale
. Assim
se e só se
, ou seja, se
é uma das raízes
ou
. Portanto não existe
tal que
com
estritamente entre duas raízes diferentes, porque
só zera exatamente em
.
Além disso, pela análise de sinais do passo 3, se
é instável e
é estável então isso corresponde ao caso
. Nesse caso
para todo
. Logo qualquer solução que tenha valores em
satisfaz
enquanto estiver em
; isto é, a solução cresce estritamente (derivada positiva) e não pode ter derivada zero em um ponto com valor
estritamente entre
e
. Complemento por unicidade: se em algum
tivéssemos
(ou
), então pela unicidade de soluções a solução seria identicamente
(ou
) para todo
, o que contradiz a hipótese não implícita de termos as duas naturezas como distintas numa mesma trajetória. Assim não existe
com
e
. Exemplo numérico para visualizar: com
(caso
), em
temos
, então uma solução iniciada em
tem
e permanece com
até se aproximar de
, sem jamais ter derivada zero em ponto com valor estritamente entre
e
. Conclusão: (ii) é falso.
Passo 6
Resposta e justificativa para (iii). A proposição afirma: “Se
é uma solução de equilíbrio instável, existem soluções da EDO para as quais
.”
Primeiro, pelo passo 3,
instável implica
(pois
e
). Para
o comportamento de
para
é dominado pelo termo cúbico:
, e como
quando
, temos que
para
. Isso significa que, ao atingir valores suficientemente negativos, a derivada
fica muito negativa e a solução “cai” cada vez mais rápido para
.
Agora um argumento padrão (comparação / cálculo) mostra que tal queda para
ocorre em tempo finito, não só quando
. Para ver isso de forma direta e didática, compare com a EDO simplificada
(ou com
com sinais apropriados): se para valores muito negativos
temos
(isso é possível porque o termo cúbico domina o polinômio), então ao separar variáveis e integrar obtemos que
atinge
em tempo finito (a integral de
dá um tempo finito até divergência). Intuição simples: equações do tipo
produzem “blow-up” em tempo finito quando
já é grande em módulo; aqui, porque
tem termo cúbico positivo dominante para
, qualquer solução que venha a ficar suficientemente negativa tende a
em tempo finito. Consequência: não existem soluções definidas para todo
que tendam a
apenas quando
; se uma solução tende a
ela o faz em tempo finito e portanto não tem limite
quando
(porque a solução deixa de estar definida após o tempo de blow-up). Logo a afirmação que existe solução com
é falsa. Um exemplo numérico para visualizar: com
e condição inicial suficientemente negativa, a solução cai para
antes de um certo
. Conclusão: (iii) é falso.
Resposta
(i) Falso
(ii) Falso
(iii) Falso
(ii) Falso
(iii) Falso