Considere uma equação diferencial da forma y^{\prime}=f(y), onde f é um polinômio de grau 3 que tem 3 raízes distintas a, b e c, satisfazendo a<b<c. Classifique as proposições abaixo em verdadeiro ou falso. Justifique suas afirmações.
(i) Se a e c são pontos de equilíbrio estável, então b também é um ponto de equilíbrio estável.
(ii) Se y=a é uma solução de equilíbrio instável e y=b é uma solução de equilíbrio estável, então existe um ponto \left(x_{0}, y_{0}\right) com a<y_{0}<b, no qual y^{\prime}\left(x_{0}\right)=0.
(iii) Se y=a é uma solução de equilíbrio instável, existem soluções da EDO para as quais \lim _{x \rightarrow+\infty} y(x)=-\infty.

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial do tipo \,y'=f(y)\,, onde f é um polinômio de grau 3 com três raízes reais distintas a<b<c. O que se pede é dizer se cada uma das três proposições (i), (ii) e (iii) é verdadeira ou falsa, e justificar cada resposta.
Informações relevantes dadas:
  • EDO: y'=f(y).
  • f é um polinômio cúbico com três raízes simples distintas }a<b<c.
  • As três proposições a serem classificadas:
    1. Se a e c são equilíbrios estáveis, então b também é estável.
    2. Se y=a é instável e y=b é estável, então existe um ponto (x_0,y_0) com a<y_0<b tal que y'(x_0)=0.
    3. Se y=a é instável, existem soluções da EDO para as quais \displaystyle\lim_{x\to+\infty} y(x)=-\infty.
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Passo 2

Representação canônica e critério de estabilidade (aula rápida). Como f é um polinômio de grau 3 com raízes simples a,b,c, podemos escrever
f(y)=k\,(y-a)(y-b)(y-c),
onde k\in\mathbb{R}\setminus\{0\} é o coeficiente líder. Para estudar estabilidade de um equilíbrio y=r (onde r\in\{a,b,c\}), usamos a linearização: se y(x)=r+z(x) com z pequeno, então
z' \approx f'(r)\,z.
Resultado padrão: se f'(r)<0 então r é assintoticamente estável (pequenas perturbações decaem), e se f'(r)>0 então r é instável (perturbações crescem). Aqui f'(r) pode ser calculado diretamente:
f'(a)=k\,(a-b)(a-c),\qquad f'(b)=k\,(b-a)(b-c),\qquad f'\text{(c)}=k\,(c-a)(c-b).
Note que, porque a<b<c, os sinais de (r-a),(r-b),(r-c) são conhecidos e fixos.

Passo 3

Análise do padrão de sinais de f' nos três equilíbrios (explicação detalhada). Como a<b<c temos os sinais:
(a-b)<0,\quad (a-c)<0;\qquad (b-a)>0,\quad(b-c)<0;\qquad (c-a)>0,\quad(c-b)>0.
Multiplicando por k:
  • Se k>0 então f'(a)=k(a-b)(a-c)>0,\quad f'(b)=k(b-a)(b-c)<0,\quad f'\text{(c)}=k(c-a)(c-b)>0.Ou seja, para k>0 os equilíbrios ficam: a instável, b estável, c instável.
  • Se k<0 todos os sinais se invertem, então f'(a)<0,\quad f'(b)>0,\quad f'\text{(c)}<0,ou seja, para k<0 os equilíbrios ficam: a estável, b instável, c estável.
Resumo didático e intuitivo: os equilíbrios alternam estabilidade na linha de fase; para um cúbico com raízes simples a alternância é estável/instável/estável ou instável/estável/instável, dependendo apenas do sinal de k.

Passo 4

Resposta e justificativa para (i). A proposição afirma: “Se a e c são pontos de equilíbrio estável, então b também é um ponto de equilíbrio estável.”
Pela análise do passo anterior, para a e c serem estáveis é necessário que k<0. Quando k<0 obtivemos que f'(b)>0, ou seja, b é instável. Portanto a conclusão da proposição é falsa: é possível ter a e c estáveis e b instável. Um exemplo concreto (pegue os números para visualizar): escolha a=0, b=1, c=2 e
f(y)=-(y-0)(y-1)(y-2)=-(y)(y-1)(y-2).
Calcule f'(1)= -\bigl((1-0)(1-2)\bigr) = -\bigl(1\cdot(-1)\bigr)=1>0, logo y=1 é instável enquanto y=0 e y=2 são estáveis. Conclusão: (i) é falso.

Passo 5

Resposta e justificativa para (ii). A proposição afirma: “Se y=a é instável e y=b é estável, então existe um ponto (x_0,y_0) com a<y_0<b tal que y'(x_0)=0.” Vamos desmontar isso com argumentos simples e didáticos.
Primeiro observação fundamental: para qualquer solução y(x) vale y'(x)=f(y(x)). Assim y'(x_0)=0 se e só se f(y(x_0))=0, ou seja, se y(x_0) é uma das raízes a,b ou c. Portanto não existe x_0 tal que y'(x_0)=0 com y(x_0) estritamente entre duas raízes diferentes, porque f só zera exatamente em a,b,c.
Além disso, pela análise de sinais do passo 3, se a é instável e b é estável então isso corresponde ao caso k>0. Nesse caso f(y)>0 para todo y\in(a,b). Logo qualquer solução que tenha valores em (a,b) satisfaz y'(x)=f(y(x))>0 enquanto estiver em (a,b); isto é, a solução cresce estritamente (derivada positiva) e não pode ter derivada zero em um ponto com valor y_0 estritamente entre a e b. Complemento por unicidade: se em algum x_0 tivéssemos y(x_0)=b (ou a), então pela unicidade de soluções a solução seria identicamente b (ou a) para todo x, o que contradiz a hipótese não implícita de termos as duas naturezas como distintas numa mesma trajetória. Assim não existe x_0 com a<y(x_0)<b e y'(x_0)=0. Exemplo numérico para visualizar: com f(y)=(y-0)(y-1)(y-2) (caso k=1), em (0,1) temos f>0, então uma solução iniciada em y(0)=0{,}5 tem y'(0)>0 e permanece com y'>0 até se aproximar de 1, sem jamais ter derivada zero em ponto com valor estritamente entre 0 e 1. Conclusão: (ii) é falso.

Passo 6

Resposta e justificativa para (iii). A proposição afirma: “Se y=a é uma solução de equilíbrio instável, existem soluções da EDO para as quais \displaystyle\lim_{x\to+\infty} y(x)=-\infty.”
Primeiro, pelo passo 3, y=a instável implica k>0 (pois f'(a)=k(a-b)(a-c)>0 e (a-b)(a-c)>0). Para k>0 o comportamento de f para y\to -\infty é dominado pelo termo cúbico: f(y)\sim k\,y^3, e como y^3\to -\infty quando y\to -\infty, temos que f(y)\to -\infty para y\to -\infty. Isso significa que, ao atingir valores suficientemente negativos, a derivada y' fica muito negativa e a solução “cai” cada vez mais rápido para -\infty.
Agora um argumento padrão (comparação / cálculo) mostra que tal queda para -\infty ocorre em tempo finito, não só quando x\to+\infty. Para ver isso de forma direta e didática, compare com a EDO simplificada \,z'=\tfrac{k}{2} z^3 (ou com z' = k z^3 com sinais apropriados): se para valores muito negativos y temos y'\le \tfrac{k}{2}y^3 (isso é possível porque o termo cúbico domina o polinômio), então ao separar variáveis e integrar obtemos que y atinge -\infty em tempo finito (a integral de dy/y^3 dá um tempo finito até divergência). Intuição simples: equações do tipo y'=C y^3 produzem “blow-up” em tempo finito quando y já é grande em módulo; aqui, porque f(y) tem termo cúbico positivo dominante para y\to-\infty, qualquer solução que venha a ficar suficientemente negativa tende a -\infty em tempo finito. Consequência: não existem soluções definidas para todo x\ge X que tendam a -\infty apenas quando x\to+\infty; se uma solução tende a -\infty ela o faz em tempo finito e portanto não tem limite -\infty quando x\to+\infty (porque a solução deixa de estar definida após o tempo de blow-up). Logo a afirmação que existe solução com \lim_{x\to+\infty} y(x)=-\infty é falsa. Um exemplo numérico para visualizar: com f(y)=y(y-1)(y-2) e condição inicial suficientemente negativa, a solução cai para -\infty antes de um certo x=T<\infty. Conclusão: (iii) é falso.

Resposta

(i) Falso
(ii) Falso
(iii) Falso

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