Um estudante preparou uma solução aquosa de hidróxido de amônio ( \mathrm{NH}_{4} \mathrm{OH} ) com concentração inicial de 35,8 \times 10^{-6} \mathrm{~mol} / \mathrm{L}. Sabendo que a constante de dissociação ácida ( \mathrm{K}_{\mathrm{a}} ) do íon amônio ( \mathrm{NH}_{4}{ }^{+}) é 5,6 \times 10^{-10} a 25^{\circ} \mathrm{C}, determine:
a) A concentração dos íons hidroxila \left(\mathrm{OH}^{-}\right)e hidrônio \left(\mathrm{H}_{3} \mathrm{O}^{+}\right)no equilíbrio.
b) O pH da solução.
Dados:
Equilíbrios envolvidos:
\mathrm{NH}_{4} \mathrm{OH}_{(\mathrm{aq})}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}_{(\mathrm{l})} \leftrightarrows \mathrm{NH}_{4}{ }^{+}{ }_{(\mathrm{aq})}+\mathrm{OH}^{-}{ }_{(\mathrm{aq})}
2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}_{(\mathrm{l})} \leftrightarrows \mathrm{H}_{3} \mathrm{O}^{+}{ }_{(\mathrm{aq})}+\mathrm{OH}^{-}{ }_{(\mathrm{aq})} \quad \mathrm{K}_{\mathrm{w}}=1,0 \times 10^{-14} (Produto iônico da água)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) calcular as concentrações dos íons hidroxila \left(\mathrm{OH}^{-}\right) e hidrônio \left(\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right) no equilíbrio;
  • (b) calcular o pH da solução.
Dados fornecidos:
  • Concentração inicial da base \mathrm{NH}_{4}\mathrm{OH}: \;c_0 = 35{,}8\times10^{-6}\\ \mathrm{mol/L}.
  • Constante de dissociação ácida do íon amônio: \;K_a(\mathrm{NH}_{4}^{+}) = 5{,}6\times10^{-10} a 25^\circ\mathrm{C}.
  • Produto iônico da água: \;K_w = 1{,}0\times10^{-14}.
  • Equilíbrio da base fraca: \mathrm{NH}_{4}\mathrm{OH} + \mathrm{H}_2\mathrm{O} \rightleftharpoons \mathrm{NH}_4^{+} + \mathrm{OH}^{-}.
Observação: a concentração inicial escrita em notação científica será útil na conta; vou também usar a forma decimal equivalente para facilitar: \;c_0 = 3{,}58\times10^{-5}\\ \mathrm{M}.

Passo 2

Raciocínio e fórmula que vamos usar: \mathrm{NH}_{4}\mathrm{OH} é a base conjugada de \mathrm{NH}_{4}^{+}. Para um par ácido/conjugado base vale a relação
K_a \cdot K_b = K_w.
Portanto podemos obter a constante básica \;K_b de \mathrm{NH}_{4}\mathrm{OH} a partir de \;K_a(\mathrm{NH}_{4}^{+}) e \;K_w:
K_b = \frac{K_w}{K_a}.
Isto é importante porque o equilíbrio que realmente estabelece \left[\mathrm{OH}^{-}\right] é a dissociação da base fraca, cujo equilíbrio é regido por K_b.

Passo 3

Calcular numericamente K_b:
K_b = \frac{1{,}0\times10^{-14}}{5{,}6\times10^{-10}}.
Faço a divisão:
K_b = \frac{1{,}0}{5{,}6}\times10^{-14+10} = \frac{1{,}0}{5{,}6}\times10^{-4}.
\frac{1{,}0}{5{,}6}\approx0{,}178571\quad\Rightarrow\quad K_b \approx 1{,}7857\times10^{-5}.

Passo 4

Montar o equilíbrio da base fraca usando uma variável de dissociação. Seja x a concentração de \mathrm{OH}^{-} gerada pela dissociação da base. Então, no equilíbrio:
  • [\mathrm{NH}_{4}\mathrm{OH}] = c_0 - x,
  • [\mathrm{NH}_{4}^{+}] = x,
  • [\mathrm{OH}^{-}] = x (a menos que queiramos incluir contribuição da água; vamos tratar disso depois).
A expressão de K_b é
K_b = \frac{[\mathrm{NH}_{4}^{+}][\mathrm{OH}^{-}]}{[\mathrm{NH}_{4}\mathrm{OH}]} = \frac{x\cdot x}{c_0 - x} = \frac{x^2}{c_0 - x}.
Rearranjando:
x^2 = K_b(c_0 - x) \quad\Rightarrow\quad x^2 + K_b x - K_b c_0 = 0.
Obtivemos uma equação quadrática em x. Como K_b e c_0 são conhecidos, vamos resolver a quadrática pelo discriminante (fórmula de Bhaskara).

Passo 5

Substituo os valores numéricos (usando c_0 = 3{,}58\times10^{-5}\\ \mathrm{M} e K_b \approx 1{,}7857\times10^{-5}):
A equação é
x^2 + \left(1{,}7857\times10^{-5}\right)x - \left(1{,}7857\times10^{-5}\cdot3{,}58\times10^{-5}\right)=0.
Calculo o termo constante:
K_b c_0 = 1{,}7857\times10^{-5}\cdot3{,}58\times10^{-5} = (1{,}7857\cdot3{,}58)\times10^{-10}.
1{,}7857\cdot3{,}58 \approx 6{,}395 \quad\Rightarrow\quad K_b c_0 \approx 6{,}395\times10^{-10}.
Agora aplico a fórmula quadrática: as raízes são
x = \frac{-K_b \pm \sqrt{K_b^2 + 4K_b c_0}}{2}.
Calculo K_b^2 e 4K_b c_0:
K_b^2 = (1{,}7857\times10^{-5})^2 \approx 3{,}189\times10^{-10},
4K_b c_0 \approx 4\cdot6{,}395\times10^{-10} \approx 2{,}558\times10^{-9}.
Somando dentro da raiz:
K_b^2 + 4K_b c_0 \approx 3{,}189\times10^{-10} + 2{,}558\times10^{-9} \approx 2{,}877\times10^{-9}.
A raiz quadrada:
\sqrt{2{,}877\times10^{-9}} \approx 5{,}366\times10^{-5}.
Portanto
x = \frac{-1{,}7857\times10^{-5} + 5{,}366\times10^{-5}}{2} = \frac{3{,}5803\times10^{-5}}{2} \approx 1{,}79015\times10^{-5}\\ \mathrm{M}.
A outra raiz com sinal menos seria negativa e fisicamente impossível para concentração, então descartamos.

Passo 6

Interpretação e verificação da aproximação: a fração dissociada é
\frac{x}{c_0} \approx \frac{1{,}79015\times10^{-5}}{3{,}58\times10^{-5}} \approx 0{,}50,
ou seja, cerca de 50\%. Como essa fração não é pequena, a aproximação x\ll c_0 daria resultado ruim — por isso resolvemos a quadrática exatamente. Concluímos que a concentração de \mathrm{OH}^{-} proveniente da base é
[\mathrm{OH}^{-}] \approx 1{,}79\times10^{-5}\\ \mathrm{M}.

Passo 7

Calcular [\mathrm{H}_3\mathrm{O}^{+}] usando K_w. Para qualquer solução aquosa em equilíbrio:
[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^{+}]\,[\mathrm{OH}^{-}] = K_w \quad\Rightarrow\quad [\mathrm{H}_3\mathrm{O}^{+}] = \frac{K_w}{[\mathrm{OH}^{-}]}.
Substituindo:
[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^{+}] = \frac{1{,}0\times10^{-14}}{1{,}79015\times10^{-5}} \approx 5{,}59\times10^{-10}\\ \mathrm{M}.

Passo 8

Calcular o pH. Primeiro o pOH:
\mathrm{pOH} = -\log_{10}\left([\mathrm{OH}^{-}]\right) = -\log_{10}\left(1{,}79015\times10^{-5}\right).
Faço a conta do logaritmo:
\log_{10}\left(1{,}79015\times10^{-5}\right)=\log_{10}(1{,}79015) + \log_{10}(10^{-5}) \approx 0{,}2528 - 5 = -4{,}7472.
Portanto
\mathrm{pOH} \approx 4{,}7472.
E o pH é
\mathrm{pH} = 14{,}00 - \mathrm{pOH} \approx 14{,}00 - 4{,}7472 = 9{,}2528 \approx 9{,}25.

Resposta

[ \mathrm{OH}^{-} ] = 1{,}79\times10^{-5}\\ \mathrm{M}
[ \mathrm{H}_3\mathrm{O}^{+} ] = 5{,}59\times10^{-10}\\ \mathrm{M}
\mathrm{pH} = 9{,}25

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