Um estudante resolve um teste com questões do tipo verdadeiro-falso. Ele sabe dar a solução correta para 40 % das questões. Quando ele responde uma questão cuja solução conhece, dá a resposta correta, e nos outros casos decide na cara ou coroa. Se uma questão foi respondida corretamente, qual é a probabilidade de que ele sabia a resposta?

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que um aluno responde um teste de verdadeiro-falso. Ele sabe 40 % das respostas e, se não souber, faz cara ou coroa, valendo 50 % de chance de acertar. A pergunta é: se ele acertou uma questão, qual a probabilidade de que ele realmente soubesse a resposta? Isso é um problema de probabilidade condicional, e a ferramenta certa é o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro a gente define os eventos e as probabilidades que já conhecemos:
  • Seja K o evento “o aluno sabe a resposta”. Então P(K)=0,4.
  • O complemento é K^c (“ele não sabe”), com P(K^c)=1-0,4=0,6.
  • Seja C o evento “ele responde corretamente”.
    • Se ele sabe ( K), ele acerta com certeza: P(Cmid K)=1
    • Se ele não sabe ( K^c), ele acerta na cara ou coroa: P(Cmid K^c)=0,5

Passo 3

Agora precisamos da probabilidade de acertar de modo geral, P(C). Para isso usamos a Regra da Probabilidade Total:
P(C)=P(Cmid K),P(K)+P(Cmid K^c),P(K^c)
Substituindo:
P(C)=1cdot0,4 + 0,5cdot0,6 = 0,4 + 0,3 = 0,7

Passo 4

Hora do Teorema de Bayes, que diz
P(Kmid C) = P(Cmid K),P(K)P(C)
Plugando os números:
P(Kmid C) = 1cdot0,40,7 = 0,40,7 = 47approx0,5714

Resposta

A probabilidade de que ele realmente soubesse a resposta, dado que acertou, é boxed47approx0,5714

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