Um estudante resolve um teste com questões do tipo verdadeiro-falso. Ele sabe dar a solução correta para
das questões. Quando ele responde uma questão cuja solução conhece, dá a resposta correta, e nos outros casos decide na cara ou coroa. Se uma questão foi respondida corretamente, qual é a probabilidade de que ele sabia a resposta?
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado diz que um aluno responde um teste de verdadeiro-falso. Ele sabe 40 % das respostas e, se não souber, faz cara ou coroa, valendo 50 % de chance de acertar. A pergunta é: se ele acertou uma questão, qual a probabilidade de que ele realmente soubesse a resposta? Isso é um problema de probabilidade condicional, e a ferramenta certa é o Teorema de Bayes.
Passo 2
Primeiro a gente define os eventos e as probabilidades que já conhecemos:
- Seja
o evento “o aluno sabe a resposta”. Então . - O complemento é
(“ele não sabe”), com . - Seja
o evento “ele responde corretamente”. - Se ele sabe (
), ele acerta com certeza: - Se ele não sabe (
), ele acerta na cara ou coroa:
- Se ele sabe (
Passo 3
Agora precisamos da probabilidade de acertar de modo geral,
. Para isso usamos a Regra da Probabilidade Total:
Substituindo:
Passo 4
Hora do Teorema de Bayes, que diz
Plugando os números:
Resposta
A probabilidade de que ele realmente soubesse a resposta, dado que acertou, é