Três urnas I,II e III contêm respectivamente 1 bola branca e 2 pretas, 2 brancas e 1 preta e 3 brancas e 2 pretas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela é retirada uma bola, que é branca. Qual é a probabilidade condicional de que a urna escolhida foi a I?
Passo 1
Então, o enunciado diz que temos três urnas:
- Urna I com 1 bola branca e 2 pretas
- Urna II com 2 brancas e 1 preta
- Urna III com 3 brancas e 2 pretas
A gente escolhe uma urna ao acaso (ou seja, cada urna tem probabilidade igual de ser escolhida) e tira uma bola que acabou saindo branca. A pergunta é: qual a probabilidade de que essa urna escolhida tenha sido a I, sabendo que saiu branca?
Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes. Vamos precisar entender que a probabilidade “da urna I ter sido escolhida dado que saiu branca” se chama
e é calculada usando o Teorema de Bayes.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar as probabilidades envolvidas:
- Probabilidade de escolher cada urna (antes de ver a bola):
- Probabilidade de tirar uma branca de cada urna:
Passo 3
Agora entra o Teorema de Bayes. Ele diz que
onde
é a probabilidade total de tirar uma bola branca (puxando qualquer uma das urnas). Para achar
, usamos a soma ponderada:
Passo 4
Vamos calcular passo a passo:
- Numerador de Bayes:
2) Probabilidade total de branca:
$$P(B)= \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}- \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}
- \frac{3}{5}\cdot\frac{1}{3}
P(I \mid B)
= \frac{\tfrac{1}{9}}{\tfrac{8}{15}}
= \frac{1}{9}\times\frac{15}{8}
= \frac{15}{72}
= \frac{5}{24}.$$
Resposta
A probabilidade condicional de que a urna escolhida tenha sido a I, dado que saiu branca, é
.