Três urnas I,II e III contêm respectivamente 1 bola branca e 2 pretas, 2 brancas e 1 preta e 3 brancas e 2 pretas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela é retirada uma bola, que é branca. Qual é a probabilidade condicional de que a urna escolhida foi a I?

Passo 1

Então, o enunciado diz que temos três urnas:
  • Urna I com 1 bola branca e 2 pretas
  • Urna II com 2 brancas e 1 preta
  • Urna III com 3 brancas e 2 pretas
A gente escolhe uma urna ao acaso (ou seja, cada urna tem probabilidade igual de ser escolhida) e tira uma bola que acabou saindo branca. A pergunta é: qual a probabilidade de que essa urna escolhida tenha sido a I, sabendo que saiu branca?
Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes. Vamos precisar entender que a probabilidade “da urna I ter sido escolhida dado que saiu branca” se chama P(I mid B) e é calculada usando o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as probabilidades envolvidas:
  • Probabilidade de escolher cada urna (antes de ver a bola): P(I) = P(II) = P(III) = tfrac13
    - Probabilidade de tirar uma branca de cada urna:
    P(B mid I) = 11+2 = 13, P(B mid II) = 22+1 = 23, P(B mid III) = 33+2 = 35

Passo 3

Agora entra o Teorema de Bayes. Ele diz que
P(I mid B) = P(B mid I),P(I)P(B),
onde P(B) é a probabilidade total de tirar uma bola branca (puxando qualquer uma das urnas). Para achar P(B), usamos a soma ponderada:
P(B) = P(Bmid I)P(I) + P(Bmid II)P(II) + P(Bmid III)P(III)

Passo 4

Vamos calcular passo a passo:
  1. Numerador de Bayes: P(B mid I)P(I) = 13times13 = 19
    2) Probabilidade total de branca:
    $$P(B)= \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}
    • \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}
    • \frac{3}{5}\cdot\frac{1}{3}
    = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{1}{5}. P(B) = 13cdot13 + 23cdot13 + 35cdot13 = 19 + 29 + 15ãP(I \mid B)
    = \frac{\tfrac{1}{9}}{\tfrac{8}{15}}
    = \frac{1}{9}\times\frac{15}{8}
    = \frac{15}{72}
    = \frac{5}{24}.$$

Resposta

A probabilidade condicional de que a urna escolhida tenha sido a I, dado que saiu branca, é 524approx0,2083,.

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