Ao estudar o acoplamento de reações químicas com processos difusivos dentro da membrana encontramos a seguinte equação para a afinidade A
lambda^2 nabla^2 A=A
onde o parâmetro característico lambda é chamado de comprimento de relaxação. Resolva a equação diferencial para a afinidade em uma dimensão. Para uma membrana de espessura De interprete fisicamente a quantidade adimensional lambda / De.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício está pedindo e o que precisamos usar.
Enunciado resumido: dentro de uma membrana, a afinidade química lambda^2nabla^2A = A obedece à equação
Em 1D isso vira . O conteúdo é equações diferenciais ordinárias de 2ª ordem com coeficientes constantes (aquele “modelinho” de reação-difusão). Pra resolver vamos precisar lembrar como resolver ODEs lineares de 2ª ordem, achar a equação característica e interpretar a solução. No final a gente ainda vai interpretar o parâmetro adimensional .

Passo 2

Escrevendo a equação direitinho em 1D:
lambda^2,d^2Adx^2 = A
Primeiro passo teórico: colocar tudo num formato padrão ODE. Basta passar tudo para um lado:
lambda^2,d^2Adx^2 - A = 0 Longrightarrow d^2Adx^2 - 1lambda^2,A = 0
Isso é uma equação linear homogênea de coeficientes constantes.

Passo 3

Agora a teoria das ODEs diz: a gente assume uma solução do tipo d^2dx^2e^r x - 1lambda^2e^r x = 0 ;Longrightarrow; r^2 e^r x - 1lambda^2e^r x = 0 ;Longrightarrow; r^2 - 1lambda^2 = 0 . Substituindo na equação:
r^2 = 1lambda^2 Longrightarrow r = pm 1lambda
Essa é a tal “equação característica”:

Passo 4

Como são duas raízes distintas ( A(x) = C1,e^,x/lambda ;+; C2,e^-,x/lambda, e ), a solução geral da ODE é:
onde e são constantes que dependem das condições de contorno (por exemplo valores de nas faces da membrana).

Passo 5

Agora a interpretação física de :
  • é o “comprimento de relaxação”, ou seja, a escala na qual a afinidade volta ao equilíbrio sob ação de difusão e reação.
  • é a espessura total da membrana.
    O quociente é adimensional e diz, em unidades de espessura, quantos “comprimentos de relaxação” cabem na membrana.
    • Se , o comprimento de relaxação é muito maior que a membrana, então a difusão espalha a afinidade quase uniformemente em todo o volume.
    • Se , a afinidade cai ou cresce muito rápido dentro de uma fração pequena da membrana, criando fortes gradientes locais.

Resposta

Solução geral da afinidade em 1D:
boxedA(x) = C1,e^x/lambda ;+; C2,e^-x/lambda
E o parâmetro adimensional indica, em unidades de espessura da membrana, a extensão do efeito difusivo-reacional: valores grandes significam perfil quase uniforme, valores pequenos significam perfis bem abruptos.

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