Ao estudar o acoplamento de reações químicas com processos difusivos dentro da membrana encontramos a seguinte equação para a afinidade
onde o parâmetro característico
é chamado de comprimento de relaxação. Resolva a equação diferencial para a afinidade em uma dimensão. Para uma membrana de espessura
interprete fisicamente a quantidade adimensional
.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício está pedindo e o que precisamos usar.
Enunciado resumido: dentro de uma membrana, a afinidade química obedece à equação
Enunciado resumido: dentro de uma membrana, a afinidade química
Em 1D isso vira
. O conteúdo é equações diferenciais ordinárias de 2ª ordem com coeficientes constantes (aquele “modelinho” de reação-difusão). Pra resolver vamos precisar lembrar como resolver ODEs lineares de 2ª ordem, achar a equação característica e interpretar a solução. No final a gente ainda vai interpretar o parâmetro adimensional
.
Passo 2
Escrevendo a equação direitinho em 1D:
Primeiro passo teórico: colocar tudo num formato padrão ODE. Basta passar tudo para um lado:
Isso é uma equação linear homogênea de coeficientes constantes.
Passo 3
Agora a teoria das ODEs diz: a gente assume uma solução do tipo
. Substituindo na equação:
Essa é a tal “equação característica”:
Passo 4
Como são duas raízes distintas (
e
), a solução geral da ODE é:
onde
e
são constantes que dependem das condições de contorno (por exemplo valores de
nas faces da membrana).
Passo 5
Agora a interpretação física de
:
-
é o “comprimento de relaxação”, ou seja, a escala na qual a afinidade volta ao equilíbrio sob ação de difusão e reação. -
é a espessura total da membrana.
O quocienteé adimensional e diz, em unidades de espessura, quantos “comprimentos de relaxação” cabem na membrana.
• Se, o comprimento de relaxação é muito maior que a membrana, então a difusão espalha a afinidade quase uniformemente em todo o volume.
• Se, a afinidade cai ou cresce muito rápido dentro de uma fração pequena da membrana, criando fortes gradientes locais.
Resposta
Solução geral da afinidade em 1D:
E o parâmetro adimensional
indica, em unidades de espessura da membrana, a extensão do efeito difusivo-reacional: valores grandes significam perfil quase uniforme, valores pequenos significam perfis bem abruptos.