Calcule o trabalho efetuado pela força F(x, y, z)=(2 x y, x^2, 2 z e^z^2) para deslocar uma partícula sobre o semiplano x=y, y >= 0, desde o equador até o polo sul da esfera unitária centrada na origem,
usando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do trabalho da força conservativa F(x,y,z)=(2xy,,x^2,,2z e^z^2) ao deslocar uma partícula sobre o semiplano x=y,,y>=0 na esfera unitária, do equador ao polo sul, usando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.

Passo 2

Para aplicar o Teorema Fundamental, precisamos checar se F é um campo conservativo, ou seja, se existe uma função potencial f(x,y,z) tal que nabla f= F.

Passo 3

Integramos F1=2xy em relação a x:
f(x,y,z)=integral2xy,dx=x^2y+g(y,z)
Depois, igualamos partial f/partial y=x^2+partial g/partial y a F2=x^2, obtendo partial g/partial y=0, logo g=g(z).
Para determinar g(z), igualamos partial f/partial z=g'(z) a F3=2z e^z^2. Então
g'(z)=2z e^z^2implies g(z)=integral2z e^z^2,dz=e^z^2+C
Podemos desprezar a constante C, ficando
f(x,y,z)=x^2y+e^z^2

Passo 4

Os pontos inicial e final na semiplano x=y,,y>=0 são: equador (1/raiz2,1/raiz2,0) e polo sul (0,0,-1).

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental, o trabalho é
W=f(0,0,-1)-fl(1/raiz2,1/raiz2,0r)=l(0+e^(-1)^2r)-l((1/2)(1/raiz2)+e^0r)=e-l(1+tfracraiz24r)

Resposta

O trabalho é e - 1 - tfracraiz24.

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