Ao se estudar o comprimento dos jacarés adultos de certa raça, foram medidos os comprimentos de dez jacarés obtendo-se média 1,69 m e variância \sigma^{2}=0,01 m^{2}. Construir o intervalo de confiança de 95 \% para essa média obtida. E se o número de jacarés medidos fossem 100 ao invés de apenas 10, o que aconteceria com a margem de erro? IC 95%: [1.63 , 1.75] (margem de erro T=6 \mathrm{~cm} ). Com amostra =100 jacarés, margem de erro T=2 \mathrm{~cm}.

Passo 1

Dados que o enunciado fornece e o que ele pede:
  • Tamanho da amostra: n=10.
  • Média amostral: \bar{x}=1,69\\ \mathrm{m}.
  • Variância dada: \sigma^{2}=0,01\\ \mathrm{m}^{2}. (Note que o enunciado usa o símbolo \sigma^{2}, que costuma indicar variância populacional conhecida.)
  • Nível de confiança pedido: 95\%.
  • Pergunta adicional: se n fosse 100 em vez de 10, o que aconteceria com a margem de erro?

Passo 2

Qual fórmula usar e por quê (explicação didática):
  • Quando a variância populacional \sigma^{2} é conhecida, o intervalo de confiança para a média usa a distribuição normal padrão Z. A fórmula é
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Aqui:
  • \bar{x} é a média amostral (o valor central do intervalo).
  • z_{\alpha/2} é o quantil da normal padrão associado ao nível de confiança (por exemplo, para 95\%, \alpha=0,05 e z_{0,025}=1,96).
  • \sigma é o desvio-padrão populacional (raiz de \sigma^{2}).
  • n é o tamanho da amostra.
  • A expressão \frac{\sigma}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média.
  • Observação importante (para a prova): se \sigma não for conhecida e n for pequeno, deve-se usar a distribuição t com n-1 graus de liberdade. Aqui o enunciado nos deu \sigma^{2}, então tratamos \sigma como conhecida e usamos z.

Passo 3

Calcular o desvio-padrão e o erro padrão:
  • Desvio-padrão populacional:
\sigma=\sqrt{\sigma^{2}}=\sqrt{0,01}=0,1\\ \mathrm{m}.
  • Erro padrão da média para n=10:
\text{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0,1}{\sqrt{10}}.
Agora calcule \sqrt{10}. Temos \sqrt{10}\approx 3,1623. Então
\text{SE}\approx\frac{0,1}{3,1623}\approx 0,03162\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Valor crítico para 95\% de confiança:
  • Para 95\% temos \alpha=0,05 e z_{0,025}=1,96 (tabela da normal padrão).
  • Então a margem de erro T é
T=z_{0,025}\cdot\text{SE}=1,96\cdot 0,03162.

Passo 5

Calcular a margem de erro e o intervalo (passo a passo numérico):
  • Margem de erro
T\approx 1,96\times 0,03162 \approx 0,06198\\ \mathrm{m}.
Escrevendo em centímetros: 0,06198\\ \mathrm{m}\approx 6,198\\ \mathrm{cm}, que arredondamos normalmente para 6,2\\ \mathrm{cm} (ou, se o professor pediu, para 6\\ \mathrm{cm}).
  • Intervalo de confiança:
\bar{x}\pm T = 1,69\\ \mathrm{m} \pm 0,06198\\ \mathrm{m}.
Logo os limites são
\text{limite inferior}=1,69-0,06198\approx 1,62802\\ \mathrm{m},
\text{limite superior}=1,69+0,06198\approx 1,75198\\ \mathrm{m}.
Arredondando para duas casas decimais obtemos [1,63,\;1,75]\\ \mathrm{m}, que é o intervalo indicado no enunciado.

Passo 6

Explicação curta sobre a diferença entre usar z e t (para fixar a ideia):
  • Se \sigma NÃO for conhecida e usarmos a estimativa amostral s no lugar de \sigma com n=10, o procedimento correto usa a distribuição t com 9 graus de liberdade. O t crítico é maior (aprox. 2,262), e a margem de erro seria maior (cerca de 0,0716\\ \mathrm{m}=7,16\\ \mathrm{cm}), dando um intervalo um pouco mais largo. Por isso é sempre importante checar se a variância fornecida é populacional ( \sigma^{2}) ou amostral ( s^{2}).

Passo 7

O que acontece com a margem de erro se n=100:
  • O erro padrão para n=100 é
\text{SE}_{100}=\frac{\sigma}{\sqrt{100}}=\frac{0,1}{10}=0,01\\ \mathrm{m}.
  • Mantendo z_{0,025}=1,96, a nova margem de erro é
T_{100}=1,96\times 0,01=0,0196\\ \mathrm{m}=1,96\\ \mathrm{cm}\approx 2\\ \mathrm{cm}.
  • Interpretação: aumentar n de 10 para 100 diminui a margem de erro por um fator aproximadamente \sqrt{10} (porque o erro padrão escala como 1/\sqrt{n}). Assim a margem de erro cai de cerca de 6,2\\ \mathrm{cm} para cerca de 1,96\\ \mathrm{cm} — aproximadamente 3,16 vezes menor.

Passo 8

Resumo prático (como fazer rápido na prova e dicas):
  • Verifique se a variância dada é populacional ( \sigma^{2}) ou amostral ( s^{2}).
  • Use a fórmula com z se \sigma conhecida, com t se \sigma desconhecida e n pequeno.
  • Calcule \text{SE}=\sigma/\sqrt{n} e depois T=z_{0,025}\cdot\text{SE}.
  • O intervalo é \bar{x}\pm T. Para aumentar precisão na prova, calcule \sqrt{n} e faça a multiplicação passo a passo como fizemos.
  • Motivação rápida: para reduzir a margem de erro pela metade, você precisa quadruplicar n (porque T\propto 1/\sqrt{n}) — bom para responder questões sobre amostragem.

Resposta

\text{IC 95\%: }[1,63,\;1,75]\\ \mathrm{m} (margem de erro T\approx 0,062\\ \mathrm{m}=6,2\\ \mathrm{cm}, arredondando 6\\ \mathrm{cm}).
Com n=100: margem de erro T\approx 0,0196\\ \mathrm{m}=1,96\\ \mathrm{cm} (aprox. 2\\ \mathrm{cm}).

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