Ao se estudar o comprimento dos jacarés adultos de certa raça, foram medidos os comprimentos de dez jacarés obtendo-se média
e variância
. Construir o intervalo de confiança de
para essa média obtida. E se o número de jacarés medidos fossem 100 ao invés de apenas 10, o que aconteceria com a margem de erro? IC 95%: [1.63 , 1.75] (margem de erro
). Com amostra
jacarés, margem de erro
.
Passo 1
Dados que o enunciado fornece e o que ele pede:
- Tamanho da amostra:
. - Média amostral:
. - Variância dada:
. (Note que o enunciado usa o símbolo , que costuma indicar variância populacional conhecida.) - Nível de confiança pedido:
. - Pergunta adicional: se
fosse em vez de , o que aconteceria com a margem de erro?
Passo 2
Qual fórmula usar e por quê (explicação didática):
- Quando a variância populacional
é conhecida, o intervalo de confiança para a média usa a distribuição normal padrão . A fórmula é
Aqui:
-
é a média amostral (o valor central do intervalo). -
é o quantil da normal padrão associado ao nível de confiança (por exemplo, para , e ). -
é o desvio-padrão populacional (raiz de ). -
é o tamanho da amostra. - A expressão
é o erro padrão da média. - Observação importante (para a prova): se
não for conhecida e for pequeno, deve-se usar a distribuição com graus de liberdade. Aqui o enunciado nos deu , então tratamos como conhecida e usamos .
Passo 3
Calcular o desvio-padrão e o erro padrão:
- Desvio-padrão populacional:
- Erro padrão da média para
:
Agora calcule
. Temos
. Então
Passo 4
Valor crítico para
de confiança:
- Para
temos e (tabela da normal padrão). - Então a margem de erro
é
Passo 5
Calcular a margem de erro e o intervalo (passo a passo numérico):
- Margem de erro
Escrevendo em centímetros:
, que arredondamos normalmente para
(ou, se o professor pediu, para
).
- Intervalo de confiança:
Logo os limites são
Arredondando para duas casas decimais obtemos
, que é o intervalo indicado no enunciado.
Passo 6
Explicação curta sobre a diferença entre usar
e
(para fixar a ideia):
- Se
NÃO for conhecida e usarmos a estimativa amostral no lugar de com , o procedimento correto usa a distribuição com graus de liberdade. O crítico é maior (aprox. ), e a margem de erro seria maior (cerca de ), dando um intervalo um pouco mais largo. Por isso é sempre importante checar se a variância fornecida é populacional ( ) ou amostral ( ).
Passo 7
O que acontece com a margem de erro se
:
- O erro padrão para
é
- Mantendo
, a nova margem de erro é
- Interpretação: aumentar
de para diminui a margem de erro por um fator aproximadamente (porque o erro padrão escala como ). Assim a margem de erro cai de cerca de para cerca de — aproximadamente 3,16 vezes menor.
Passo 8
Resumo prático (como fazer rápido na prova e dicas):
- Verifique se a variância dada é populacional (
) ou amostral ( ). - Use a fórmula com
se conhecida, com se desconhecida e pequeno. - Calcule
e depois . - O intervalo é
. Para aumentar precisão na prova, calcule e faça a multiplicação passo a passo como fizemos. - Motivação rápida: para reduzir a margem de erro pela metade, você precisa quadruplicar
(porque ) — bom para responder questões sobre amostragem.
Resposta
Com