Um parafuso produzido em um torno automático poderá ter uma pequena variação no comprimento, dada em milímetros, com comportamento aleatório modelado por
f(x)=\left\{\begin{aligned}k x+\frac{15}{32} & \text { se } \frac{1}{16} \leq x \leq \frac{33}{16} \\\ 0 & \text { caso contrário }\end{aligned}\right.á
a) Determine k de modo que f seja densidade de probabilidade. k=\frac{1}{34}
b) Qual a probabilidade de obtermos uma variação no comprimento maior do que 1 milímetro? 559 / 1024=54,6 \%
c) Calcule o comprimento médio desses parafusos. 883 / 816=1,0821 \mathrm{~mm}

Passo 1

O enunciado fornece a densidade de probabilidade por partes
f(x)=\begin{cases} k x+\dfrac{15}{32}, & \dfrac{1}{16}\le x\le \dfrac{33}{16},\\[6pt] 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}á
e pede três coisas:
a) Determinar k de modo que f seja densidade de probabilidade (ou seja, integrar para 1).
b) Calcular a probabilidade de obter uma variação maior que 1, isto é P(X>1).
c) Calcular o comprimento médio (valor esperado) E[X] dos parafusos.
Dados relevantes fornecidos: o suporte da densidade é o intervalo \left[\dfrac{1}{16},\dfrac{33}{16}\right], e a função na região é kx+\dfrac{15}{32}.]

Passo 2

Normalização da densidade (achar k). Explicação curta: uma função é densidade se a área sob ela em toda a reta for 1. Como f é zero fora de \left[\dfrac{1}{16},\dfrac{33}{16}\right], precisamos ter
\int_{1/16}^{33/16}\!\left(kx+\dfrac{15}{32}\right)\,dx=1.
Agora calculamos essa integral passo a passo. Integramos termo a termo:
\int_{1/16}^{33/16} kx\,dx = k\cdot\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{1/16}^{33/16} = k\cdot\dfrac{1}{2}\left(\left(\dfrac{33}{16}\right)^{2}-\left(\dfrac{1}{16}\right)^{2}\right).
E
\int_{1/16}^{33/16}\dfrac{15}{32}\,dx = \dfrac{15}{32}\left(\dfrac{33}{16}-\dfrac{1}{16}\right).
Vamos simplificar as quantidades numéricas. O comprimento do intervalo é
\dfrac{33}{16}-\dfrac{1}{16}=\dfrac{32}{16}=2.
A diferença de quadrados é
\left(\dfrac{33}{16}\right)^{2}-\left(\dfrac{1}{16}\right)^{2}=\dfrac{33^{2}-1^{2}}{16^{2}}=\dfrac{1089-1}{256}=\dfrac{1088}{256}=\dfrac{17}{4}.
Substituindo:
k\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{17}{4}=k\cdot\dfrac{17}{8}.
E o termo constante dá
\dfrac{15}{32}\cdot 2=\dfrac{15}{16}.
Portanto a condição de normalização vira
k\cdot\dfrac{17}{8}+\dfrac{15}{16}=1.
Isolando k:
k\cdot\dfrac{17}{8}=1-\dfrac{15}{16}=\dfrac{1}{16},
k=\dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{8}{17}=\dfrac{8}{272}=\dfrac{1}{34}.
Conclusão: \displaystyle k=\dfrac{1}{34}. Aqui vimos como usar a condição \int f=1 e como integrar uma função linear.

Passo 3

Calcular P(X>1). Interpretação: como 1 pertence ao suporte \left[\dfrac{1}{16},\dfrac{33}{16}\right], temos
P(X>1)=\int_{1}^{33/16}\left(kx+\dfrac{15}{32}\right)\,dx,
com k=\dfrac{1}{34}. Integramos termo a termo:
\int_{1}^{33/16} kx\,dx = k\cdot\dfrac{1}{2}\left(\left(\dfrac{33}{16}\right)^{2}-1^{2}\right),
\int_{1}^{33/16}\dfrac{15}{32}\,dx = \dfrac{15}{32}\left(\dfrac{33}{16}-1\right).
Calculemos as diferenças numéricas. Primeiro
\left(\dfrac{33}{16}\right)^{2}-1=\dfrac{1089}{256}-\dfrac{256}{256}=\dfrac{833}{256}.
Então
k\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{833}{256}=\dfrac{1}{34}\cdot\dfrac{833}{512}=\dfrac{833}{17408}.
O outro termo:
\dfrac{33}{16}-1=\dfrac{17}{16},
\dfrac{15}{32}\cdot\dfrac{17}{16}=\dfrac{255}{512}.
Somando:
P(X>1)=\dfrac{833}{17408}+\dfrac{255}{512}.
Para somar, escrevemos \dfrac{255}{512}=\dfrac{255\cdot 34}{17408}=\dfrac{8670}{17408}. Então
P(X>1)=\dfrac{833+8670}{17408}=\dfrac{9503}{17408}.
Essa fração simplifica: \gcd(9503,17408)=17, logo
P(X>1)=\dfrac{9503}{17408}=\dfrac{559}{1024}\approx 0{,}5459\approx 54{,}6\%.
Interpretação: pouco mais da metade dos parafusos têm variação maior que 1 mm.

Passo 4

Calcular o comprimento médio E[X]. Definição e ideia: o valor esperado de uma variável contínua com densidade f é
E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx.
Aqui reduz-se ao suporte:
E[X]=\int_{1/16}^{33/16} x\left(kx+\dfrac{15}{32}\right)\,dx = \int_{1/16}^{33/16}\left(kx^{2}+\dfrac{15}{32}x\right)\,dx.
Integramos os dois termos:
\int_{1/16}^{33/16} kx^{2}\,dx = k\cdot\dfrac{1}{3}\left(\left(\dfrac{33}{16}\right)^{3}-\left(\dfrac{1}{16}\right)^{3}\right),
\int_{1/16}^{33/16}\dfrac{15}{32}x\,dx = \dfrac{15}{32}\cdot\dfrac{1}{2}\left(\left(\dfrac{33}{16}\right)^{2}-\left(\dfrac{1}{16}\right)^{2}\right).
Já calculámos antes \left(\dfrac{33}{16}\right)^{2}-\left(\dfrac{1}{16}\right)^{2}=\dfrac{17}{4}. Para as cúbicas usamos uma fatoração prática:
\left(\dfrac{33}{16}\right)^{3}-\left(\dfrac{1}{16}\right)^{3} =\left(\dfrac{33}{16}-\dfrac{1}{16}\right)\left(\left(\dfrac{33}{16}\right)^{2}+\dfrac{33}{16}\cdot\dfrac{1}{16}+\left(\dfrac{1}{16}\right)^{2}\right).
Como \dfrac{33}{16}-\dfrac{1}{16}=2, calculemos o parêntese:
\left(\dfrac{33}{16}\right)^{2}+\dfrac{33}{16}\cdot\dfrac{1}{16}+\left(\dfrac{1}{16}\right)^{2} =\dfrac{1089}{256}+\dfrac{33}{256}+\dfrac{1}{256}=\dfrac{1123}{256}.
Logo
\left(\dfrac{33}{16}\right)^{3}-\left(\dfrac{1}{16}\right)^{3}=2\cdot\dfrac{1123}{256}=\dfrac{1123}{128}.
Substituindo e usando k=\dfrac{1}{34}:
\int_{1/16}^{33/16} kx^{2}\,dx = \dfrac{1}{34}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1123}{128}=\dfrac{1123}{13056}.
E
\int_{1/16}^{33/16}\dfrac{15}{32}x\,dx = \dfrac{15}{32}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{17}{4}=\dfrac{15\cdot 17}{256}=\dfrac{255}{256}.
Somando:
E[X]=\dfrac{1123}{13056}+\dfrac{255}{256}.
Igualamos denominadores: 13056=256\cdot 51, então
\dfrac{255}{256}=\dfrac{255\cdot 51}{13056}=\dfrac{13005}{13056}.
Portanto
E[X]=\dfrac{1123+13005}{13056}=\dfrac{14128}{13056}.
Simplificando pela \gcd=16:
E[X]=\dfrac{883}{816}\approx 1{,}0821\\ \text{(mm)}.
Interpretação: o comprimento médio da variação é cerca de 1{,}082 milímetro.

Resposta

a) \displaystyle k=\dfrac{1}{34}
b) \displaystyle P(X>1)=\dfrac{559}{1024}\approx 54{,}6\%
c) \displaystyle E[X]=\dfrac{883}{816}\approx 1{,}0821\\ \text{mm}

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