Um provedor de acesso à internet precisa estimar o tempo de conexão de seus clientes com objetivo de dimensionar seus equipamentos. Assim, extraiu-se uma amostra de 500 conexões resultando em média amostral de 25 minutos, com desvio padrão de \sqrt{50} minutos. Obter o intervalo para uma confiança de \mathbf{9 2 \%}. IC 92 \% : [ 24.45,25.55 ], isto é, T=0,55 minutos.

Passo 1

O que o enunciado pede: construir um intervalo de confiança para o tempo médio de conexão dos clientes com nível de confiança de 92\%.
Informações fornecidas (retirei diretamente do enunciado):
\bar{x}=25 minutos (média amostral), n=500 (tamanho da amostra), desvio-padrão amostral s=\sqrt{50} minutos, nível de confiança 92\%.

Passo 2

Decidir o método: como n=500 é grande, podemos usar a aproximação normal (Teorema do Limite Central). Mesmo que o desvio padrão populacional seja desconhecido, para amostras grandes o uso do quantil da normal padrão z com o desvio amostral s é apropriado (o resultado quase coincide com o t com muitos graus de liberdade). Então usaremos o intervalo baseado em z.

Passo 3

Fórmula do intervalo de confiança para a média (aproximação normal):
\bar{x} \pm z_{1-\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}}
Explanação das letras:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=25).
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da normal padrão correspondente a 1-\alpha/2.
  • s é o desvio-padrão amostral (aqui s=\sqrt{50}).
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=500).
  • \alpha é o nível de significância, com \alpha = 1 - nível de confiança.

Passo 4

Calcular \alpha e o quantil z: nível de confiança 92\% significa \alpha = 1-0,92 = 0,08, logo \alpha/2 = 0,04. Precisamos de z_{1-\alpha/2}=z_{0,96}, ou seja o valor de z tal que P(Z\le z)=0,96. Consultando tabela da normal ou calculadora, obtemos aproximadamente
z_{0,96}\approx 1,7507.

Passo 5

Calcular o erro-padrão (desvio padrão da média):
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{500}}=\sqrt{\frac{50}{500}}=\sqrt{0,1}=\frac{1}{\sqrt{10}}\approx 0,31622777.
Explicação: usei propriedade \sqrt{a}/\sqrt{b}=\sqrt{a/b} para simplificar sem calculadora.

Passo 6

Calcular a margem de erro T:
T = z_{0,96}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \approx 1,7507 \times 0,31622777 \approx 0,553.
Arredondando de forma prática para duas casas decimais (como no enunciado), T\approx 0,55 minutos.

Passo 7

Calcular as extremidades do intervalo (usando T não arredondado para mais precisão, depois arredondamos para duas casas):
\text{limite inferior}=\bar{x}-T \approx 25-0,553 \approx 24,447,
\text{limite superior}=\bar{x}+T \approx 25+0,553 \approx 25,553.
Arredondando para duas casas decimais obtemos aproximadamente [24,45,\;25,55].

Resposta

[24,45,25,55]

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