Estudar a continuidade em R das seguintes funções :
ll0 & se x <= pi x & se x>pi;

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos a continuidade da função f₁ definida por duas peças em ℝ: é constante igual a 0 para x ≤ π e segue f₁(x)=x para x>π. Vamos usar o conceito de continuidade: f é contínua em a se limₓ→a f(x)=f(a).

Passo 2

Para x<π temos f₁(x)=0, uma função constante. Uma função constante é contínua em todo ponto do seu domínio, pois para qualquer a<π vem limₓ→a f₁(x)=0=f₁(a).

Passo 3

Para x>π temos f₁(x)=x, a função identidade. Sabemos que a função identidade é contínua em todo ponto do domínio, logo f₁ é contínua em cada ponto x>π.

Passo 4

O ponto crítico é x=π. Calculamos os limites laterais:
Lado esquerdo:
limxtopi^-f₁(x)=0
Lado direito:
limxtopi^+f₁(x)=limxtopi^+x=π
Como 0≠π, o limite bilateral não existe e, portanto, f₁ não é contínua em π.

Resposta

A função f₁ é contínua em todo ℝ, exceto em x=π, onde apresenta uma descontinuidade de salto.

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