Estudar a continuidade em
das seguintes funções :
;
Passo 1
O enunciado pede para estudarmos a continuidade da função f₁ definida por duas peças em ℝ: é constante igual a 0 para x ≤ π e segue f₁(x)=x para x>π. Vamos usar o conceito de continuidade: f é contínua em a se limₓ→a f(x)=f(a).
Passo 2
Para x<π temos f₁(x)=0, uma função constante. Uma função constante é contínua em todo ponto do seu domínio, pois para qualquer a<π vem limₓ→a f₁(x)=0=f₁(a).
Passo 3
Para x>π temos f₁(x)=x, a função identidade. Sabemos que a função identidade é contínua em todo ponto do domínio, logo f₁ é contínua em cada ponto x>π.
Passo 4
O ponto crítico é x=π. Calculamos os limites laterais:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Como 0≠π, o limite bilateral não existe e, portanto, f₁ não é contínua em π.
Resposta
A função f₁ é contínua em todo ℝ, exceto em x=π, onde apresenta uma descontinuidade de salto.