Estudar a continuidade em R das seguintes funções :
f3(x)=x^2+3 x+1

Passo 1

O exercício pede para estudar a continuidade da função f3(x)=x^2+3x+1 em R. O conteúdo envolve definição de continuidade e propriedades de funções polinomiais.

Passo 2

Uma função f é contínua em um ponto a se vale limxto af(x)=f(a). Além disso, sabemos que funções constantes, a função identidade xmapsto x e produtos por constantes são contínuas em todo R, e que soma e produto de funções contínuas também são contínuos.

Passo 3

Podemos ver f3(x) como combinação de funções contínuas: a função identidade xmapsto x (contínua), sua multiplicação x^2 = xcdot x (produto de contínuas), a função xmapsto 3x (constante vezes identidade) e a constante 1. Aplicando propriedades de soma e produto, concluímos que f3 é contínua em todo R.

Passo 4

Para reforçar, calculamos o limite em um ponto arbitrário a:
limxto af3(x) = limxto a(x^2+3x+1) = a^2+3a+1 = f3(a),
o que confirma a continuidade em qualquer ainR.

Resposta

A função f3(x)=x^2+3x+1 é contínua em todo R.

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