Nos exercícios 47 a 56 , calcular a área limitada pela curva dada.
Passo 1
Nesse exercício vamos achar a área da curva dada em coordenadas polares, que é r²=9 sen 2θ. O conteúdo é cálculo de área em coordenadas polares usando a fórmula A=(1/2)∫r² dθ.
Passo 2
Para que r² seja não negativa, precisamos de sen 2θ≥0. Como sen 2θ≥0 quando 2θ∈[0,π] mod 2π, temos θ∈[0,π/2] para o primeiro “laço” da curva. Como a curva forma dois laços iguais (um em θ∈[0,π/2] e outro em θ∈[π,3π/2]), vamos primeiro calcular a área de um laço.
Passo 3
Aplicando a fórmula de área em polares:
A_laço = (1/2) ∫₀^{π/2} r² dθ
Substituindo r² = 9 sen 2θ:
A_laço = (1/2) ∫₀^{π/2} r² dθ
Substituindo r² = 9 sen 2θ:
Agora calculamos o integral:
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Passo 4
Como há dois laços idênticos, a área total limitada pela curva é 2·(9/2)=9.
Resposta
9