Nos exercícios 47 a 56 , calcular a área limitada pela curva dada.
r^2=9 sen 2 theta

Passo 1

Nesse exercício vamos achar a área da curva dada em coordenadas polares, que é r²=9 sen 2θ. O conteúdo é cálculo de área em coordenadas polares usando a fórmula A=(1/2)∫r² dθ.

Passo 2

Para que r² seja não negativa, precisamos de sen 2θ≥0. Como sen 2θ≥0 quando 2θ∈[0,π] mod 2π, temos θ∈[0,π/2] para o primeiro “laço” da curva. Como a curva forma dois laços iguais (um em θ∈[0,π/2] e outro em θ∈[π,3π/2]), vamos primeiro calcular a área de um laço.

Passo 3

Aplicando a fórmula de área em polares:
A_laço = (1/2) ∫₀^{π/2} r² dθ
Substituindo r² = 9 sen 2θ:
Alaço = 12 integral0^pi2 9,sin2theta ,dtheta = 92 integral0^pi2 sin2theta ,dtheta ç
Agora calculamos o integral:
integral0^pi2 sin2theta ,dtheta = l[-tfrac12cos2thetar]0^pi2 = -tfrac12(cospi - cos0) = -tfrac12(-1 -1) = 1
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Alaço = 92 times 1 = 92 ç

Passo 4

Como há dois laços idênticos, a área total limitada pela curva é 2·(9/2)=9.

Resposta

9

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