Estudar a convergência/divergência das seguintes séries:
sumn=2^infty(-1)^n 5 n^2n^3-3 n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=2^infty(-1)^n5n^2n^3-3n,
O conteúdo principal é testar convergência absoluta (comparação com a série harmônica) e convergência condicional (teste de Leibniz para séries alternantes).

Passo 2

Para ver se há convergência absoluta, olhamos a série dos valores absolutos
sumn=2^infty|5n^2n^3-3n| =sumn=2^infty5n^2n^3-3n,
Para n grande,
5n^2n^3-3n =5ncdot11-tfrac3n^2 sim 5n
Como sum 1/n diverge (série harmônica), pela comparação limite concluímos que
sumn=2^infty5n^2n^3-3n
também diverge. Logo, a série não converge absolutamente.

Passo 3

Agora aplicamos o teste de Leibniz à série alternante
sumn=2^infty(-1)^nan, an=5n^2n^3-3n
Precisamos verificar que
  1. limntoinftyan=0.
  2. (an) é monótona decrescente para n>=2.
Para (1), já vimos que ansim5/n, logo limntoinftyan=0.
Para (2), considere a função contínua
f(x)=5x^2x^3-3x (x>raiz3),
e calcule
f'(x) =10x(x^3-3x)-5x^2(3x^2-3)(x^3-3x)^2 =-5x^2(x^2+3)(x^3-3x)^2<0 para x>raiz3
Isso mostra que f é decrescente em [2,infty), logo an decresce para n>=2.
Pelo teste de Leibniz, a série alternante converge.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo teste de Leibniz, mas não converge absolutamente).

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