Determinar f(t) se L(f) vale:
4-2 ss^3+4 s

Passo 1

O enunciado pede para determinar f(t) sabendo que sua transformada de Laplace é
Lf(s)=4-2ss^3+4s
O conteúdo aqui é inversão de transformada de Laplace por frações parciais. Vamos decompôr o quociente em termos que reconheçamos como transformadas conhecidas.

Passo 2

Escrevemos
4-2ss(s^2+4)=As+Bs+Cs^2+4
Multiplicando ambos os lados por s(s^2+4), obtemos
4-2s = A(s^2+4)+(Bs+C),s
Isso gera a identidade polinomial
4-2s = (A+B)s^2 + C,s +4A

Passo 3

Igualando coeficientes de potências de s, temos
- coeficiente de s^2: A+B=0
- coeficiente de s: C=-2
- termo constante: 4A=4,.
Daí A=1, B=-1 e C=-2.

Passo 4

Substituindo os valores em
4-2ss(s^2+4)=1s+-s-2s^2+4 =1s-ss^2+4-2s^2+4

Passo 5

Agora aplicamos inversão termo a termo usando tabelas:
L^-11/s(t)=1,
L^-1s/(s^2+4)(t)=cos(2t),
L^-12/(s^2+4)(t)=sin(2t).
Portanto
f(t)=1 - cos(2t) - sin(2t)

Resposta

f(t)=1 - cos(2t) - sin(2t)

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