Estudar a convergência/divergência das seguintes séries:
sumn=1^infty(-1)^n-1 3^nn^2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n-13^nn^2
O conteúdo principal é teste de convergência de séries infinitas: em particular o teste da divergência (term-test) e o teste da raiz (root test).

Passo 2

Aplicamos primeiro o teste da divergência, que diz que, se a série converge, então o termo geral an deve tender a zero. Aqui
an=(-1)^n-13^nn^2,
logo em valor absoluto
|an|=3^nn^2
Para ver o limite, note que o crescimento exponencial 3^n domina o polinomial n^2, então
limntoinfty|an|=limntoinfty3^nn^2=+inftyneq 0
Como o termo geral não tende a zero, a série não pode convergir.

Passo 3

Para reforçar, aplicamos o teste da raiz. Calculamos
L=limntoinftyraiz[n]|an| =limntoinftyraiz[n]3^nn^2 =limntoinfty3n^2/n=3
Como L=3>1, o teste da raiz também indica divergência da série.

Resposta

A série diverge.

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