Determinar f(t) se L(f) vale:
s^3+6 s^2+14 s(s+2)^4

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace
Lf(s)=s^3+6s^2+14s(s+2)^4
e pede f(t). O conteúdo é transformada inversa de Laplace usando o teorema do deslocamento em s e fórmulas básicas de tabelas.

Passo 2

Aplicamos o teorema do deslocamento em s definindo
u = s + 2
Então
s^3+6s^2+14s(s+2)^4 =(u-2)^3+6(u-2)^2+14(u-2)u^4

Passo 3

Expandimos o numerador em termos de u:
(u-2)^3=u^3-6u^2+12u-8, 6(u-2)^2=6u^2-24u+24, 14(u-2)=14u-28,
logo somando:
(u-2)^3+6(u-2)^2+14(u-2)=u^3+2u-12

Passo 4

Logo
u^3+2u-12u^4 =1u+2u^3-12u^4

Passo 5

Sabendo que
L^-1tfrac1u=1,
L^-1tfrac2u^3=2cdott^22!=t^2,
L^-1tfrac-12u^4=-12cdott^33!=-2t^3,
e voltando do deslocamento em s, temos
f(t)=e^-2tl(1+t^2-2t^3r)

Resposta

f(t)=l(1+t^2-2t^3r)e^-2t

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