Se f(x)=x^-4>0 para todo x no domínio dá função, o que está errado na equação
integral-2^1 x^-4 d x=x^-3-3|-2 ^1=-38 ?

Passo 1

O enunciado pede
sabendo que é positiva em todo o seu domínio , mas tem singularidade (não está definida) em . Para resolver, precisamos reconhecer que essa é uma integral imprópria com descontinuidade no ponto interno e, portanto, deve ser tratada por limites.

Passo 2

Como há descontinuidade em x=0 dentro do intervalo [-2,1], escrevemos
integral-2^1x^-4,dx =limato0^-integral-2^ax^-4,dx +limbto0^+integralb^1x^-4,dx

Passo 3

Para a primeira parcela temos
integral-2^ax^-4,dx =x^-3-3|-2^a =-13a^-3 -l(-13(-2)^-3r) =-13a^-3+13cdot(-8)
Quando ato0^-, a^-3to-infty e então -tfrac13a^-3to+infty. Logo essa parcela diverge.

Passo 4

Para a segunda parcela temos
integralb^1x^-4,dx =x^-3-3|b^1 =-13cdot1^-3 -l(-13b^-3r) =-13+13b^-3
Quando bto0^+, b^-3to+infty e tfrac13b^-3to+infty. Essa parcela também diverge.

Passo 5

Como ambas as parcelas são infinitas, a integral imprópria
integral-2^1x^-4,dx
não converge (é +infty). Portanto não se pode aplicar diretamente a antiderivada em todo o intervalo sem tratar a singularidade em x=0.

Resposta

A integral integral-2^1x^-4,dx é impropriamente divergente (vai a +infty). O erro em obter -tfrac38 foi ignorar a descontinuidade em x=0 e usar indevidamente o Teorema Fundamental do Cálculo.

Exercícios relacionados