Estudar a convergência das séries de termos gerais:
u_{n}=\frac{1+n}{3+n^{2}}. Resp. Divergente

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série cujo termo geral é \displaystyle u_{n}=\frac{1+n}{3+n^{2}}.
Informações relevantes dadas:
\displaystyle u_{n}=\frac{1+n}{3+n^{2}} para n inteiro positivo.
A série em questão é \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}.
Não há outras condições fornecidas.

Passo 2

Observação inicial importante (teste necessário): para que uma série \displaystyle \sum_{n} u_{n} convergente tenha chance de convergir é necessário que o termo geral tenda a zero, isto é \displaystyle u_{n}\to 0. Vamos verificar isso aqui. Calculemos o limite de \displaystyle u_{n} quando n\to\infty.

Passo 3

Avaliação do limite de \displaystyle u_{n}. Dividimos numerador e denominador por n^{2} para ver o comportamento quando n cresce grande:
u_{n}=\frac{1+n}{3+n^{2}}=\frac{\dfrac{1}{n^{2}}+\dfrac{1}{n}}{\dfrac{3}{n^{2}}+1}. Tomando n\to\infty as parcelas com potências negativas de n tendem a zero, então \lim_{n\to\infty} u_{n}=\frac{0+0}{0+1}=0.
Portanto a condição necessária \displaystyle u_{n}\to 0 é satisfeita. Mas isso não garante convergência da série — precisamos de um teste mais forte.

Passo 4

Vamos comparar \displaystyle u_{n} com um termo conhecido. Observação assintótica: o termo \displaystyle u_{n} tem ordem da mesma grandeza de \displaystyle \frac{1}{n} quando n é grande. Uma forma direta de ver isso é calcular o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n}}{1/n}=\lim_{n\to\infty} n\,u_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n(1+n)}{3+n^{2}}.
Compute o numerador e denominador dividindo por n^{2} (ou observe que o termo dominante no numerador é n^{2} e no denominador também n^{2}):
n\,u_{n}=\frac{n+n^{2}}{3+n^{2}}=\frac{\dfrac{1}{n} + 1}{\dfrac{3}{n^{2}} + 1}\xrightarrow[n\to\infty]{} \frac{0+1}{0+1}=1.
Logo
\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n}}{1/n}=1.

Passo 5

Aplicação do Teste da Comparação por Limite (limit comparison test): o teste diz que, se a_{n}\ge 0, b_{n}>0 e \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=c com 0<c<\infty, então as séries \sum a_{n} e \sum b_{n} convergem ou divergem juntas. Aqui podemos tomar a_{n}=u_{n} e b_{n}=1/n. Obtivemos \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n}}{1/n}=1, que é um número finito e não nulo. Portanto \sum u_{n} e \sum \dfrac{1}{n} têm o mesmo comportamento de convergência.
Sabemos que a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é divergente (por exemplo pelo teste da integral ou pelo clássico agrupamento de termos). Como a série harmônica diverge e as duas séries têm comportamento idêntico pelo teste da comparação por limite, concluímos que \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n} também diverge.

Passo 6

Resumo didático rápido do porquê: embora cada termo u_{n} tenda a zero, ele tende como 1/n. As séries cujos termos são aproximadamente \dfrac{1}{n} (p.ex. a harmônica) divergem. O teste de comparação por limite formaliza essa comparação e dá o resultado final.

Resposta

Divergente

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