Estudar a convergência das séries de termos gerais:
u_{n}=\frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}}}. Resp. Divergente.

Passo 1

O enunciado pede que eu estude a convergência da série cujo termo geral é u_{n}=\frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}}}.\n
Informações dadas:\n
  • O termo geral é u_{n}=\frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}}}.\n
  • Presumimos a série a partir de n=1, ou seja, estamos analisando \sum_{n=1}^{\infty} u_n.\n
    Pergunta clara: a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}}} converge ou diverge?

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo geral para uma forma mais familiar. Repare que
\frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}}}=\frac{1}{\big(n^{2}\big)^{1/3}}=n^{-2/3}.
Então a série que devemos estudar é
\sum_{n=1}^{\infty} n^{-2/3}.
Vou explicar dois critérios simples e convencionais que servem aqui: o teste da série p (p-series) e o teste da comparação com a série harmônica. Um pouco de paciência que eu explico cada um passo a passo — você vai sair sabendo aplicar isso na prova.

Passo 3

Lembrando o que significa convergência de uma série: a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge se a sequência das somas parciais
S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n
tem limite finito quando N\to\infty. Para séries de termos positivos (como a nossa, pois n^{-2/3}>0), as somas parciais são uma sequência monótona crescente, então ou elas tendem a um número finito (converge) ou tendem a +\infty (diverge).

Passo 4

Apresento o teste da série p (resultado conhecido e muito usado): a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-p}
converge se, e somente se, p>1. Vou justificar rapidamente por que isso é verdade usando o teste integral (é útil entender a razão, não decorar cegamente).
Considere a função f(x)=x^{-p} para x\ge1. Para p>0 ela é positiva e decrescente, então podemos comparar a série com a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx.
Calcule essa integral (para p\neq1):
\int_{1}^{T} x^{-p}\,dx=\left.\frac{x^{1-p}}{1-p}\right|_{1}^{T}=\frac{T^{1-p}-1}{1-p}.
Agora observe o comportamento quando T\to\infty:
  • Se p>1, então 1-p<0 e T^{1-p}\to0, logo a integral converge (valor finito).
  • Se p\le1, então 1-p\ge0 e T^{1-p}\to\infty (ou cresce como \ln T no caso p=1), logo a integral diverge.
Pelo teste integral, para funções positivas e decrescentes, a série \sum n^{-p} e a integral \int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem). Assim obtemos o critério: converge iff p>1.

Passo 5

Aplicando o critério da série p ao nosso caso: aqui p=\tfrac{2}{3}. Como
\frac{2}{3}<1,
ficamos na situação p\le1, portanto a série
\sum_{n=1}^{\infty} n^{-2/3}
diverge pelo teste da série p.

Passo 6

Para reforçar a intuição, faço também uma comparação direta com a série harmônica \sum 1/n, que é bem conhecida por divergir. Note que para n\ge1 temos n^{2/3}\le n (porque elevar n\ge1 a potências menores que 1 dá um número menor ou igual a n), então
n^{-2/3}=\frac{1}{n^{2/3}}\ge\frac{1}{n}.
Como os termos são não negativos e maiores ou iguais aos termos da série harmônica, e como a série harmônica diverge, então a nossa série, que tem termos maiores, também diverge por comparação direta. Esse é um argumento bem simples e rápido que dá o mesmo resultado.

Passo 7

Uma observação importante para evitar confusões: o fato de u_n=n^{-2/3} tender a 0 quando n\to\infty (pois n^{-2/3}\to0) é necessário para convergência de uma série, mas não é suficiente. Aqui mesmo temos u_n\to0 e, ainda assim, a série diverge — esse é um exemplo clássico que mostra a diferença entre termo genérico ir a zero e a soma ser finita.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt[3]{n^{2}}}=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-2/3} é divergente.

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