Estudar a convergência das séries de termos gerais: u_{n}=\frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}}}. Resp. Divergente.
Passo 1
O enunciado pede que eu estude a convergência da série cujo termo geral é u_{n}=\frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}}}.\n
Informações dadas:\n
O termo geral é u_{n}=\frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}}}.\n
Presumimos a série a partir de n=1, ou seja, estamos analisando \sum_{n=1}^{\infty} u_n.\n
Pergunta clara: a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}}} converge ou diverge?
Passo 2
Primeiro simplificamos o termo geral para uma forma mais familiar. Repare que
Vou explicar dois critérios simples e convencionais que servem aqui: o teste da série p (p-series) e o teste da comparação com a série harmônica. Um pouco de paciência que eu explico cada um passo a passo — você vai sair sabendo aplicar isso na prova.
Passo 3
Lembrando o que significa convergência de uma série: a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge se a sequência das somas parciais
S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n
tem limite finito quando N\to\infty. Para séries de termos positivos (como a nossa, pois n^{-2/3}>0), as somas parciais são uma sequência monótona crescente, então ou elas tendem a um número finito (converge) ou tendem a +\infty (diverge).
Passo 4
Apresento o teste da série p (resultado conhecido e muito usado): a série
converge se, e somente se, p>1. Vou justificar rapidamente por que isso é verdade usando o teste integral (é útil entender a razão, não decorar cegamente).
Considere a função f(x)=x^{-p} para x\ge1. Para p>0 ela é positiva e decrescente, então podemos comparar a série com a integral imprópria
Se p>1, então 1-p<0 e T^{1-p}\to0, logo a integral converge (valor finito).
Se p\le1, então 1-p\ge0 e T^{1-p}\to\infty (ou cresce como \ln T no caso p=1), logo a integral diverge.
Pelo teste integral, para funções positivas e decrescentes, a série \sum n^{-p} e a integral \int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem). Assim obtemos o critério: converge iff p>1.
Passo 5
Aplicando o critério da série p ao nosso caso: aqui p=\tfrac{2}{3}. Como
\frac{2}{3}<1,
ficamos na situação p\le1, portanto a série
\sum_{n=1}^{\infty} n^{-2/3}
diverge pelo teste da série p.
Passo 6
Para reforçar a intuição, faço também uma comparação direta com a série harmônica \sum 1/n, que é bem conhecida por divergir. Note que para n\ge1 temos n^{2/3}\le n (porque elevar n\ge1 a potências menores que 1 dá um número menor ou igual a n), então
n^{-2/3}=\frac{1}{n^{2/3}}\ge\frac{1}{n}.
Como os termos são não negativos e maiores ou iguais aos termos da série harmônica, e como a série harmônica diverge, então a nossa série, que tem termos maiores, também diverge por comparação direta. Esse é um argumento bem simples e rápido que dá o mesmo resultado.
Passo 7
Uma observação importante para evitar confusões: o fato de u_n=n^{-2/3} tender a 0 quando n\to\infty (pois n^{-2/3}\to0) é necessário para convergência de uma série, mas não é suficiente. Aqui mesmo temos u_n\to0 e, ainda assim, a série diverge — esse é um exemplo clássico que mostra a diferença entre termo genérico ir a zero e a soma ser finita.
Resposta
A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt[3]{n^{2}}}=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-2/3} é divergente.