Estudar a convergência das séries de termos gerais:
u_{n}=\frac{1}{n^{2}+2 n+3}. Resp. Convergente.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos gerais u_{n}=\frac{1}{n^{2}+2n+3}. Ou seja, analisar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} u_{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+2n+3}
converge ou diverge. Não há outras perguntas — só decidir a convergência dessa série.

Passo 2

Observação simples sobre os termos: para todo n\in\mathbb{N} temos n^{2}+2n+3>0, então
u_{n}=\frac{1}{n^{2}+2n+3}>0.
Como os termos são positivos, podemos usar testes de comparação para séries de termos não-negativos. Isso também implica que convergência usual = convergência absoluta aqui.

Passo 3

Apresento um resultado padrão que usarei (e explico por quê): a p-série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Em particular, para p=2 a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
converge (é a famosa série de p=2). Vou usar essa série como referência para comparação porque o termo dado tem ordem 1/n^{2} quando n é grande.

Passo 4

Explico o teste de comparação direta que vou usar: se 0\le a_{n}\le b_{n} para todo n a partir de algum índice e \sum b_{n} converge, então \sum a_{n} também converge. A ideia é que as somas parciais de \sum a_{n} ficam sempre abaixo das de \sum b_{n}, que têm limite finito.

Passo 5

Faço a comparação direta com a p-série 1/n^{2}. Para todo n\ge 1 temos n^{2}+2n+3\ge n^{2}. Tomando recíprocos (todos positivos) obtemos
\frac{1}{n^{2}+2n+3}\le \frac{1}{n^{2}}.
Logo, u_{n}\le \frac{1}{n^{2}} para todo n\ge 1. Como já vimos que \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} converge, pelo teste de comparação direta concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+2n+3}
também converge.

Passo 6

Para fortalecer a intuição, mostro também o teste da razão de comparação limite (alternativa): considere a_{n}=u_{n} e b_{n}=1/n^{2}. Então
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n^{2}+2n+3}}{\frac{1}{n^{2}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+2n+3}.
Dividindo numerador e denominador por n^{2} obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^{2}}}=1.
Como esse limite é um número real estritamente positivo, pelas regras do teste da comparação por limites as duas séries têm o mesmo comportamento; e como \sum 1/n^{2} converge, a nossa também converge. (Isto confirma a conclusão do passo anterior.)

Passo 7

Portanto, por comparação direta (ou pelo teste de comparação limite) com a p-série de expoente 2, a série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+2n+3} converge. Como os termos são positivos, esta é também convergência absoluta.

Resposta

Convergente

Exercícios relacionados