Estudar a convergência das séries de termos gerais:
. Resp. Convergente.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos gerais
. Ou seja, analisar se a série
converge ou diverge. Não há outras perguntas — só decidir a convergência dessa série.
Passo 2
Observação simples sobre os termos: para todo
temos
, então
Como os termos são positivos, podemos usar testes de comparação para séries de termos não-negativos. Isso também implica que convergência usual = convergência absoluta aqui.
Passo 3
Apresento um resultado padrão que usarei (e explico por quê): a p-série
converge se, e somente se,
. Em particular, para
a série
converge (é a famosa série de p=2). Vou usar essa série como referência para comparação porque o termo dado tem ordem
quando
é grande.
Passo 4
Explico o teste de comparação direta que vou usar: se
para todo
a partir de algum índice e
converge, então
também converge. A ideia é que as somas parciais de
ficam sempre abaixo das de
, que têm limite finito.
Passo 5
Faço a comparação direta com a p-série
. Para todo
temos
. Tomando recíprocos (todos positivos) obtemos
Logo,
para todo
. Como já vimos que
converge, pelo teste de comparação direta concluímos que
também converge.
Passo 6
Para fortalecer a intuição, mostro também o teste da razão de comparação limite (alternativa): considere
e
. Então
Dividindo numerador e denominador por
obtemos
Como esse limite é um número real estritamente positivo, pelas regras do teste da comparação por limites as duas séries têm o mesmo comportamento; e como
converge, a nossa também converge. (Isto confirma a conclusão do passo anterior.)
Passo 7
Portanto, por comparação direta (ou pelo teste de comparação limite) com a p-série de expoente
, a série
converge. Como os termos são positivos, esta é também convergência absoluta.
Resposta
Convergente