Mostre que a equação dada é homogênea.
Resolva a equação diferencial.
Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação à origem?
Resolva a equação diferencial.
Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação à origem?
Passo 1
Enunciado e o que é pedido:
- Equação diferencial dada:
. - Pedidos:
- Mostrar que a equação é homogênea.
- Resolver a equação diferencial (obter a solução geral).
- Desenhar (descrever) um campo de direções e algumas curvas integrais.
- Dizer se as curvas integrais são simétricas em relação à origem.
Informações explícitas fornecidas:
- A fórmula da derivada
em termos de e é . - Não há figura fornecida; todas as conclusões terão de vir da própria equação.
Passo 2
Mostrar que a equação é homogênea (explicando o conceito):
- Uma função
é chamada de homogênea de grau se, para todo , - Aqui definimos
. - Verificação direta:
- Conclusão:
é homogênea de grau . Intuição: numerador e denominador são ambos de grau , então a razão tem grau .
Passo 3
Escolha do método e substituição (por que usar
):
- Para equações do tipo
com homogênea de grau , é padrão usar a substituição porque passa a depender apenas de . - Derivada usando
:
Passo 4
Substituir na equação e simplificar (passo a passo, sem pular etapas):
- Substituindo
na equação original: - Simplificar numerador e denominador (fatorando
): - Portanto
- Isolando
: - Colocar em denominador comum
: - Fatorando o polinômio do numerador:
- Então obtemos
Passo 5
Separar variáveis e integrar (mostrando todos os passos e a técnica de frações parciais):
- Reescrevendo para separar:
- Agora precisamos integrar a parte em
. Fazemos frações parciais:
procuramostais que - Igualando numeradores:
- Identificando coeficientes:
- Resolvendo o sistema: subtraindo,
então . Assim . - Logo
- Integrando ambos os lados:
- As integrais são logaritmos:
onde é constante de integração.
Passo 6
Manipular a expressão integrada para obter a solução geral (passo a passo):
- Multiplicando por
: com . - Usando propriedades de logaritmos:
- Exponenciando e absorvendo sinais na constante de integração
: - Lembrando
, substituir de volta: - Simplificando (multiplicando ambos os lados por
) obtemos a forma implícita mais bonita: com constante arbitrária real (absorve e sinais). - Observação importante sobre soluções retas: se
a equação dá , ou seja as retas são soluções especiais (são, de fato, soluções da equação diferencial original; verificável por substituição direta). Essas são chamadas soluções singulares (ou soluções em que a constante vale zero).
Passo 7
Campo de direções — como desenhar e propriedades (com exemplos numéricos para facilitar o esboço):
- A inclinação em cada ponto
é , que depende apenas de . Consequência prática: pontos sobre a mesma reta que parte da origem (mesma razão ) têm a mesma inclinação. Para esboçar o campo de direções: - Escolha algumas retas que passam pela origem (várias razões
), calcule a inclinação em um ponto de cada reta e repita ao longo da reta.
- Escolha algumas retas que passam pela origem (várias razões
- Exemplos numéricos de inclinações (para treinar a caneta no papel):
Note que os pontos simétricos e têm a mesma inclinação porque a função depende de e . - Curvas integrais: traçando curvas que satisfazam
para vários (por exemplo ) você encontra: - Para
: as retas e . - Para
: curvas que, quando cresce, tendem a aproximar-se das retas ou (porque para grandes o lado direito tende a , forçando próximo das raízes ou ). Logo essas retas são assíntotas das curvas integrais.
- Para
- Em resumo do esboço: desenhe várias retas radiais (vindas do zero), marque pequenas setas com as inclinações calculadas; desenhe as curvas integrais implícitas
que se aproximam das retas e .
Passo 8
Simetria das curvas integrais em relação à origem (explicação detalhada):
- Propriedade do campo de direções: como
, o campo de direções é simétrico em relação à origem (setas em e têm mesma inclinação). - Agora veja o que acontece com as curvas integrais implícitas: suponha que
esteja em uma curva com constante , ou seja Substituindo na expressão da esquerda: - Conclusão: o ponto
pertence à curva com constante . Portanto: - A imagem por simetria de uma curva com constante
é a curva com constante . - Somente quando
a curva é igual à sua imagem por simetria (ou seja, as retas e são as únicas curvas integrais simétricas em relação à origem).
- A imagem por simetria de uma curva com constante
- Resposta direta: o campo de direções é simétrico em relação à origem; as curvas integrais, em geral, não são simétricas em relação à origem (exceto no caso
).
Resposta
A equação é homogênea (grau
), pois
.\n
Solução geral implícita: (constante
). As soluções singulares são as retas
e
(caso
).\n
Campo de direções: depende apenas de , logo é simétrico em relação à origem; curvas integrais: em geral NÃO são simétricas em relação à origem (a simetria de uma curva com constante
é a curva com constante
); exceção:
(as duas retas), que são simétricas.
Solução geral implícita:
Campo de direções: depende apenas de