Mostre que a equação dada é homogênea.
Resolva a equação diferencial.
Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação à origem?
\frac{d y}{d x}=-\frac{4 x+3 y}{2 x+y}

Passo 1

Enunciado e o que é pedido:
  • Equação diferencial dada: \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{4x+3y}{2x+y}.
  • Pedidos:
    1. Mostrar que a equação é homogênea.
    2. Resolver a equação diferencial (obter a solução geral).
    3. Desenhar (descrever) um campo de direções e algumas curvas integrais.
    4. Dizer se as curvas integrais são simétricas em relação à origem.
Informações explícitas fornecidas:
  • A fórmula da derivada dy/dx em termos de x e y é \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{4x+3y}{2x+y}.
  • Não há figura fornecida; todas as conclusões terão de vir da própria equação.

Passo 2

Mostrar que a equação é homogênea (explicando o conceito):
  • Uma função F(x,y) é chamada de homogênea de grau 0 se, para todo t\neq0, F(tx,ty)=F(x,y).
  • Aqui definimos F(x,y) = -\dfrac{4x+3y}{2x+y}.
  • Verificação direta: F(tx,ty) = -\dfrac{4(tx)+3(ty)}{2(tx)+(ty)} = -\dfrac{t(4x+3y)}{t(2x+y)} = -\dfrac{4x+3y}{2x+y}=F(x,y).
  • Conclusão: F é homogênea de grau 0. Intuição: numerador e denominador são ambos de grau 1, então a razão tem grau 0.

Passo 3

Escolha do método e substituição (por que usar y=ux):
  • Para equações do tipo dy/dx = F(x,y) com F homogênea de grau 0, é padrão usar a substituição y = u x,porque F(x,y) passa a depender apenas de u=y/x.
  • Derivada usando y=ux: \frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}.

Passo 4

Substituir na equação e simplificar (passo a passo, sem pular etapas):
  • Substituindo y=ux na equação original: u + x\frac{du}{dx} = -\frac{4x + 3(ux)}{2x + (ux)}.
  • Simplificar numerador e denominador (fatorando x): -\frac{4x + 3ux}{2x + ux} = -\frac{x(4+3u)}{x(2+u)} = -\frac{4+3u}{2+u}.
  • Portanto u + x\frac{du}{dx} = -\frac{4+3u}{2+u}.
  • Isolando x\,du/dx: x\frac{du}{dx} = -\frac{4+3u}{2+u} - u.
  • Colocar em denominador comum (2+u): x\frac{du}{dx} = \frac{-(4+3u) - u(2+u)}{2+u} = \frac{-4 -3u -2u - u^2}{2+u} = -\frac{u^2 +5u +4}{2+u}.
  • Fatorando o polinômio do numerador: u^2 +5u +4 = (u+1)(u+4).
  • Então obtemos x\frac{du}{dx} = -\frac{(u+1)(u+4)}{2+u}.

Passo 5

Separar variáveis e integrar (mostrando todos os passos e a técnica de frações parciais):
  • Reescrevendo para separar: \frac{2+u}{(u+1)(u+4)}\,du = -\frac{dx}{x}.
  • Agora precisamos integrar a parte em u. Fazemos frações parciais:
    procuramos A,B tais que \frac{2+u}{(u+1)(u+4)} = \frac{A}{u+1} + \frac{B}{u+4}.
  • Igualando numeradores: 2+u = A(u+4) + B(u+1) = (A+B)u + (4A + B).
  • Identificando coeficientes: A+B = 1,\qquad 4A + B = 2.
  • Resolvendo o sistema: subtraindo, 3A = 1 então A=\dfrac{1}{3}. Assim B = 1 - A = \dfrac{2}{3}.
  • Logo \frac{2+u}{(u+1)(u+4)} = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{u+1} + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{u+4}.
  • Integrando ambos os lados: \int\left(\frac{1}{3}\frac{1}{u+1} + \frac{2}{3}\frac{1}{u+4}\right) du = \int -\frac{dx}{x}.
  • As integrais são logaritmos: \frac{1}{3}\ln|u+1| + \frac{2}{3}\ln|u+4| = -\ln|x| + C,onde C é constante de integração.

Passo 6

Manipular a expressão integrada para obter a solução geral (passo a passo):
  • Multiplicando por 3: \ln|u+1| + 2\ln|u+4| = -3\ln|x| + C_1,com C_1=3C.
  • Usando propriedades de logaritmos: \ln\big(|u+1|\cdot|u+4|^2\big) = \ln\big(|x|^{-3}\big) + C_1.
  • Exponenciando e absorvendo sinais na constante de integração C_2: (u+1)(u+4)^2 = \frac{C_2}{x^3}.
  • Lembrando u = \dfrac{y}{x}, substituir de volta: \left(\frac{y}{x}+1\right)\left(\frac{y}{x}+4\right)^2 = \frac{C_2}{x^3}.
  • Simplificando (multiplicando ambos os lados por x^3) obtemos a forma implícita mais bonita: (y+x)(y+4x)^2 = C,com C constante arbitrária real (absorve C_2 e sinais).
  • Observação importante sobre soluções retas: se C=0 a equação dá (y+x)(y+4x)^2=0, ou seja as retas y=-x \quad\text{e}\quad y=-4xsão soluções especiais (são, de fato, soluções da equação diferencial original; verificável por substituição direta). Essas são chamadas soluções singulares (ou soluções em que a constante vale zero).

Passo 7

Campo de direções — como desenhar e propriedades (com exemplos numéricos para facilitar o esboço):
  • A inclinação em cada ponto (x,y) é \displaystyle F\!\left(\frac{y}{x}\right) = -\frac{4x+3y}{2x+y}, que depende apenas de y/x. Consequência prática: pontos sobre a mesma reta que parte da origem (mesma razão y/x) têm a mesma inclinação. Para esboçar o campo de direções:
    • Escolha algumas retas que passam pela origem (várias razões y/x), calcule a inclinação em um ponto de cada reta e repita ao longo da reta.
  • Exemplos numéricos de inclinações (para treinar a caneta no papel): \begin{aligned} &\text{Em }(1,0):\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{4\cdot1+3\cdot0}{2\cdot1+0} = -\frac{4}{2} = -2.\\\ &\text{Em }(0,1):\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{0+3}{0+1} = -3.\\\ &\text{Em }(1,1):\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{4+3}{2+1} = -\frac{7}{3}\approx -2{,}33.\\\ &\text{Em }(1,-1):\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{4-3}{2-1} = -1. \end{aligned}Note que os pontos simétricos (x,y) e (-x,-y) têm a mesma inclinação porque a função depende de y/x e \frac{-y}{-x}=\frac{y}{x}.
  • Curvas integrais: traçando curvas que satisfazam (y+x)(y+4x)^2 = C para vários C (por exemplo C=-2,-1,0,1,2) você encontra:
    • Para C=0: as retas y=-x e y=-4x.
    • Para C\neq0: curvas que, quando |x| cresce, tendem a aproximar-se das retas y=-x ou y=-4x (porque para grandes |x| o lado direito \dfrac{C}{x^3} tende a 0, forçando u=y/x próximo das raízes -1 ou -4). Logo essas retas são assíntotas das curvas integrais.
  • Em resumo do esboço: desenhe várias retas radiais (vindas do zero), marque pequenas setas com as inclinações calculadas; desenhe as curvas integrais implícitas (y+x)(y+4x)^2=C que se aproximam das retas y=-x e y=-4x.

Passo 8

Simetria das curvas integrais em relação à origem (explicação detalhada):
  • Propriedade do campo de direções: como F(-x,-y)=F(x,y), o campo de direções é simétrico em relação à origem (setas em (x,y) e (-x,-y) têm mesma inclinação).
  • Agora veja o que acontece com as curvas integrais implícitas: suponha que (x,y) esteja em uma curva com constante C, ou seja (y+x)(y+4x)^2 = C.Substituindo (-x,-y) na expressão da esquerda: (-y - x)(-y - 4x)^2 = -(y+x)\,(y+4x)^2 = -C.
  • Conclusão: o ponto (-x,-y) pertence à curva com constante -C. Portanto:
    • A imagem por simetria de uma curva com constante C é a curva com constante -C.
    • Somente quando C=0 a curva é igual à sua imagem por simetria (ou seja, as retas y=-x e y=-4x são as únicas curvas integrais simétricas em relação à origem).
  • Resposta direta: o campo de direções é simétrico em relação à origem; as curvas integrais, em geral, não são simétricas em relação à origem (exceto no caso C=0).

Resposta

A equação é homogênea (grau 0), pois \displaystyle -\frac{4(tx)+3(ty)}{2(tx)+ty}=-\frac{4x+3y}{2x+y}.\n
Solução geral implícita: \displaystyle (y+x)(y+4x)^2 = C (constante C). As soluções singulares são as retas \displaystyle y=-x e \displaystyle y=-4x (caso C=0).\n
Campo de direções: depende apenas de y/x, logo é simétrico em relação à origem; curvas integrais: em geral NÃO são simétricas em relação à origem (a simetria de uma curva com constante C é a curva com constante -C); exceção: C=0 (as duas retas), que são simétricas.

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