(UF-BA) Para estudar o desenvolvimento de um grupo de bactérias, um laboratório realizou uma pesquisa durante 15 semanas. Inicialmente, colocou-se um determinado número de bactérias em um recipiente e, ao final de cada semana, observou-se o seguinte:
- na primeira semana, houve uma redução de
no número de bactérias;
- na segunda semana, houve um aumento de
em relação à quantidade de bactérias existentes ao final da primeira semana;
- a partir da terceira semana, o número de bactérias cresceu em progressão aritmética de razão 12;
- no final da décima quinta semana, o número de bactérias existentes era igual ao inicial. Com base nessas informações, determine o número de bactérias existentes no início da pesquisa.
Passo 1
Vamos organizar direitinho o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
O enunciado pede: determinar o número de bactérias existentes no início da pesquisa.
Informações fornecidas:
- No início havia um número desconhecido de bactérias, que chamaremos de
. - Ao final da 1ª semana houve redução de
. - Ao final da 2ª semana houve aumento de
em relação ao final da 1ª semana. - A partir da 3ª semana, o número de bactérias cresce em progressão aritmética de razão
(ou seja, a cada semana, a partir da 3ª, o número aumenta em bactérias em relação à semana anterior). - Ao final da 15ª semana o número de bactérias era igual ao inicial (ou seja, igual a
).
Vou usar essas informações para escrever equações e resolver para
.
Passo 2
Trabalhando com as porcentagens: como aplicar redução e aumento percentual.
Regra prática: uma redução de
corresponde a multiplicar por
. Um aumento de
corresponde a multiplicar por
.
Aplicando isso ao problema:
- Após a 1ª semana (vou chamar esse valor de
), temos uma redução de . Logo
- Após a 2ª semana (valor
), há um aumento de em relação a . Logo
Expliquei passo a passo: primeiro multiplica-se por
(redução de
), depois por
(aumento de
).
Passo 3
Interpretando a progressão aritmética (PA) a partir da 3ª semana.
Diz o enunciado que "a partir da terceira semana, o número de bactérias cresceu em progressão aritmética de razão
". Isso significa que, a partir do valor no fim da 2ª semana, o acréscimo no fim da 3ª semana foi de
unidades, e a cada semana subsequente o número aumenta mais
unidades. Em termos de termos da sequência semanal
, temos:
Assim, para ligar
a
podemos somar
aumentos de
unidades (pois de semanas 3 até 15 há
saltos de semana para semana). Logo:
Passo 4
Usando a condição final
e substituindo
.
Sabemos que
(do Passo 2) e que
. Pela relação do Passo 3:
Calcule
:
Portanto a equação fica
Passo 5
Resolver a equação para
.
Subtraindo
em ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora faça a divisão: dividir por
é multiplicar por
ou calcular diretamente:
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança):
-
. -
. - Pelo crescimento em PA com razão
: . - Subindo até
: há 12 unidades por salto, e de a são saltos, então , que confere com .
Tudo bate certinho.