(UF-BA) Para estudar o desenvolvimento de um grupo de bactérias, um laboratório realizou uma pesquisa durante 15 semanas. Inicialmente, colocou-se um determinado número de bactérias em um recipiente e, ao final de cada semana, observou-se o seguinte:
  • na primeira semana, houve uma redução de 20 \% no número de bactérias;
  • na segunda semana, houve um aumento de 10 \% em relação à quantidade de bactérias existentes ao final da primeira semana;
  • a partir da terceira semana, o número de bactérias cresceu em progressão aritmética de razão 12;
  • no final da décima quinta semana, o número de bactérias existentes era igual ao inicial. Com base nessas informações, determine o número de bactérias existentes no início da pesquisa.

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
O enunciado pede: determinar o número de bactérias existentes no início da pesquisa.
Informações fornecidas:
  • No início havia um número desconhecido de bactérias, que chamaremos de N.
  • Ao final da 1ª semana houve redução de 20\%.
  • Ao final da 2ª semana houve aumento de 10\% em relação ao final da 1ª semana.
  • A partir da 3ª semana, o número de bactérias cresce em progressão aritmética de razão 12 (ou seja, a cada semana, a partir da 3ª, o número aumenta em 12 bactérias em relação à semana anterior).
  • Ao final da 15ª semana o número de bactérias era igual ao inicial (ou seja, igual a N).
Vou usar essas informações para escrever equações e resolver para N.

Passo 2

Trabalhando com as porcentagens: como aplicar redução e aumento percentual.
Regra prática: uma redução de p\% corresponde a multiplicar por 1-\dfrac{p}{100}. Um aumento de q\% corresponde a multiplicar por 1+\dfrac{q}{100}.
Aplicando isso ao problema:
  • Após a 1ª semana (vou chamar esse valor de a_1), temos uma redução de 20\%. Logo
a_1=(1-0,20)N=0{,}8N.
  • Após a 2ª semana (valor a_2), há um aumento de 10\% em relação a a_1. Logo
a_2=(1+0,10)a_1=1{,}1\cdot 0{,}8N=0{,}88N.
Expliquei passo a passo: primeiro multiplica-se por 0{,}8 (redução de 20\%), depois por 1{,}1 (aumento de 10\%).

Passo 3

Interpretando a progressão aritmética (PA) a partir da 3ª semana.
Diz o enunciado que "a partir da terceira semana, o número de bactérias cresceu em progressão aritmética de razão 12". Isso significa que, a partir do valor no fim da 2ª semana, o acréscimo no fim da 3ª semana foi de 12 unidades, e a cada semana subsequente o número aumenta mais 12 unidades. Em termos de termos da sequência semanal a_1,a_2,a_3,\dots,a_{15}, temos:
a_3-a_2=12,\quad a_4-a_3=12,\\ \ldots,\\ a_{15}-a_{14}=12.
Assim, para ligar a_2 a a_{15} podemos somar 13 aumentos de 12 unidades (pois de semanas 3 até 15 há 15-2=13 saltos de semana para semana). Logo:
a_{15}=a_2+13\cdot 12.

Passo 4

Usando a condição final a_{15}=N e substituindo a_2.
Sabemos que a_2=0{,}88N (do Passo 2) e que a_{15}=N. Pela relação do Passo 3:
N=a_{15}=a_2+13\cdot 12=0{,}88N+13\cdot 12.
Calcule 13\cdot 12:
13\cdot 12=156.
Portanto a equação fica
N=0{,}88N+156.

Passo 5

Resolver a equação para N.
Subtraindo 0{,}88N em ambos os lados:
N-0{,}88N=156 \quad\Rightarrow\quad 0{,}12N=156.
Dividindo ambos os lados por 0{,}12:
N=\dfrac{156}{0{,}12}.
Agora faça a divisão: dividir por 0{,}12 é multiplicar por \dfrac{100}{12} ou calcular diretamente:
N=156\div 0{,}12=1300.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança):
  • a_1=0{,}8N=0{,}8\cdot1300=1040.
  • a_2=1{,}1\cdot a_1=1{,}1\cdot1040=1144.
  • Pelo crescimento em PA com razão 12: a_3=a_2+12=1156.
  • Subindo até a_{15}: há 12 unidades por salto, e de a_3 a a_{15} são 12 saltos, então a_{15}=a_3+12\cdot12=1156+144=1300, que confere com N.
Tudo bate certinho.

Resposta

1300 bactérias

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