(UE-CE) O perímetro do triângulo
é 24 cm e a medida de seu menor lado é
. Se as medidas dos lados deste triângulo, em centímetros, formam uma progressão aritmética de razão
, podemos afirmar, corretamente, que:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Tenho que identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados do enunciado:
- O perímetro do triângulo
é . - A medida do menor lado é
. - As medidas dos lados formam uma progressão aritmética de razão
(ou seja, os três lados são termos consecutivos de uma PA com diferença comum ).
O que se pede: - Determinar em qual das opções dadas está a verdadeira desigualdade para
(a, b, c ou d).
Passo 2
Modelar os lados com variáveis: para três termos consecutivos de uma progressão aritmética podemos escrever os lados como
onde
é o termo do meio (a média aritmética dos extremos) e
é a razão (diferença comum). Aqui o menor lado é
.
Passo 3
Usar o perímetro para achar
. A soma dos três lados é
Como o perímetro vale
, tem-se
Logo
Passo 4
Usar o fato de que o menor lado vale
. O menor lado é
, logo
Substituindo
,
Isolando
,
Passo 5
Verificar se esse valor de
realmente é admissível para formar um triângulo (regras do triângulo: soma de dois lados maior que o terceiro). O maior lado aqui é
. A condição mais crítica é
pois a soma dos dois menores deve ser maior que o maior. Simplificando,
Além disso, deve-se ter lados positivos:
. Portanto a condição necessária é
. O valor encontrado
satisfaz essa condição, então é válido.
Passo 6
Comparar o valor
com as alternativas. A alternativa que contém
é a letra c), que afirma
. Logo a alternativa correta é a c).
Resposta
c)