(UE-CE) O perímetro do triângulo P Q R é 24 cm e a medida de seu menor lado é 5,5 \mathrm{~cm}. Se as medidas dos lados deste triângulo, em centímetros, formam uma progressão aritmética de razão r, podemos afirmar, corretamente, que:
a) 1,4<r<1,8
b) 1,8<r<2,2
c) 2,2<r<2,6
d) 2,6<r<3,0

Passo 1

Tenho que identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados do enunciado:
  • O perímetro do triângulo PQR é 24\\ \text{cm}.
  • A medida do menor lado é 5,5\\ \text{cm}.
  • As medidas dos lados formam uma progressão aritmética de razão r (ou seja, os três lados são termos consecutivos de uma PA com diferença comum r).
    O que se pede:
  • Determinar em qual das opções dadas está a verdadeira desigualdade para r (a, b, c ou d).

Passo 2

Modelar os lados com variáveis: para três termos consecutivos de uma progressão aritmética podemos escrever os lados como
m-r,\quad m,\quad m+r,
onde m é o termo do meio (a média aritmética dos extremos) e r é a razão (diferença comum). Aqui o menor lado é m-r.

Passo 3

Usar o perímetro para achar m. A soma dos três lados é
(m-r)+m+(m+r)=3m.
Como o perímetro vale 24\\ \text{cm}, tem-se
3m=24.
Logo
m=8.

Passo 4

Usar o fato de que o menor lado vale 5,5\\ \text{cm}. O menor lado é m-r, logo
m-r=5,5.
Substituindo m=8,
8-r=5,5.
Isolando r,
r=8-5,5=2,5.

Passo 5

Verificar se esse valor de r realmente é admissível para formar um triângulo (regras do triângulo: soma de dois lados maior que o terceiro). O maior lado aqui é m+r=8+r. A condição mais crítica é
8+r < (8-r)+8,
pois a soma dos dois menores deve ser maior que o maior. Simplificando,
8+r<16-r \quad\Rightarrow\quad 2r<8 \quad\Rightarrow\quad r<4.
Além disso, deve-se ter lados positivos: m-r>0\Rightarrow r<8. Portanto a condição necessária é 0<r<4. O valor encontrado r=2,5 satisfaz essa condição, então é válido.

Passo 6

Comparar o valor r=2,5 com as alternativas. A alternativa que contém r=2,5 é a letra c), que afirma 2,2<r<2,6. Logo a alternativa correta é a c).

Resposta

c)

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