(ITA-SP) Considere a progressão aritmética (
) de razão
. Se
e
, então
é igual
:
a) 3
b) 6
c) 9
d) 11
e) 14
a) 3
b) 6
c) 9
d) 11
e) 14
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo exatamente como está no enunciado).
- Temos uma progressão aritmética cujos termos são
e a razão é . - Foi dado que
. - Foi dado que
. - O que o enunciado pede: calcular o valor de
e escolher a alternativa correta entre
a), b) , c) , d) , e) .
Passo 2
A fórmula que vamos usar é a soma dos primeiros
termos de uma progressão aritmética. Vou explicar e justificar bem.
-
Se
é a soma dos primeiros termos, existe a forma prática: Essa fórmula vem da ideia de somar o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo, etc.; hápares iguais quando é par. -
Também sabemos que o termo geral de uma PA éonde
é o primeiro termo e a razão. -
Substituindo
na fórmula da soma obtemos uma forma útil: Aqui:-
= soma dos primeiros termos, -
= primeiro termo, -
= razão, -
= número de termos somados.
-
Vamos aplicar essa fórmula aos dois somatórios dados.
Passo 3
Aplicando a fórmula para
:
Pelo enunciado temos
. Igualando:
Agora simplifico essa equação: subtraio
de ambos os lados e depois divido por
:
Portanto temos a primeira relação entre
e
:
Passo 4
Agora aplico a fórmula para
:
Pelo enunciado
. Igualando e simplificando dividindo por
:
Então a segunda equação é
Passo 5
Agora resolvo o sistema formado por
Substituo
na segunda equação:
Faço as contas passo a passo:
Com
, volto à relação
:
Passo 6
Temos
e
. Agora calculo a quantidade pedida:
Ótimo — chegamos ao número pedido. Vai dar certo na prova, respira fundo!
Resposta
d) 11