(ITA-SP) Considere a progressão aritmética ( a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{50} ) de razão d. Se \sum_{n=1}^{10} a_{n}=10+25 d e \sum_{n=1}^{50} a_{n}=4550, então d-a_{1} é igual a :
a) 3
b) 6
c) 9
d) 11
e) 14

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo exatamente como está no enunciado).
  • Temos uma progressão aritmética cujos termos são (a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{50}) e a razão é d.
  • Foi dado que \sum_{n=1}^{10} a_{n} = 10 + 25 d.
  • Foi dado que \sum_{n=1}^{50} a_{n} = 4550.
  • O que o enunciado pede: calcular o valor de d - a_{1} e escolher a alternativa correta entre
    a) 3, b) 6, c) 9, d) 11, e) 14.

Passo 2

A fórmula que vamos usar é a soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética. Vou explicar e justificar bem.
  • Se S_n é a soma dos n primeiros termos, existe a forma prática:
    S_n = \frac{n}{2}\bigl(a_1 + a_n\bigr).
    Essa fórmula vem da ideia de somar o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo, etc.; há n/2 pares iguais quando n é par.
  • Também sabemos que o termo geral de uma PA é
    a_n = a_1 + (n-1)d,
    onde a_1 é o primeiro termo e d a razão.
  • Substituindo a_n na fórmula da soma obtemos uma forma útil:
    S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr).
    Aqui:
    • S_n = soma dos primeiros n termos,
    • a_1 = primeiro termo,
    • d = razão,
    • n = número de termos somados.
Vamos aplicar essa fórmula aos dois somatórios dados.

Passo 3

Aplicando a fórmula para n=10:
S_{10} = \frac{10}{2}\bigl(2a_1 + 9d\bigr) = 5\bigl(2a_1 + 9d\bigr) = 10a_1 + 45d.
Pelo enunciado temos S_{10} = 10 + 25d. Igualando:
10a_1 + 45d = 10 + 25d.
Agora simplifico essa equação: subtraio 25d de ambos os lados e depois divido por 10:
10a_1 + 20d = 10 \quad\Longrightarrow\quad a_1 + 2d = 1.
Portanto temos a primeira relação entre a_1 e d:
a_1 = 1 - 2d.

Passo 4

Agora aplico a fórmula para n=50:
S_{50} = \frac{50}{2}\bigl(2a_1 + 49d\bigr) = 25\bigl(2a_1 + 49d\bigr).
Pelo enunciado S_{50} = 4550. Igualando e simplificando dividindo por 25:
2a_1 + 49d = \frac{4550}{25} = 182.
Então a segunda equação é
2a_1 + 49d = 182.

Passo 5

Agora resolvo o sistema formado por
\begin{cases} a_1 = 1 - 2d,\\[4pt] 2a_1 + 49d = 182. \end{cases}
Substituo a_1 na segunda equação:
2(1 - 2d) + 49d = 182.
Faço as contas passo a passo:
2 - 4d + 49d = 182,
2 + 45d = 182,
45d = 180,
d = 4.
Com d = 4, volto à relação a_1 = 1 - 2d:
a_1 = 1 - 2\cdot 4 = 1 - 8 = -7.]

Passo 6

Temos d = 4 e a_1 = -7. Agora calculo a quantidade pedida:
d - a_1 = 4 - (-7) = 4 + 7 = 11.
Ótimo — chegamos ao número pedido. Vai dar certo na prova, respira fundo!

Resposta

d) 11

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