Ao estudar o movimento de um pêndulo simples, os físicos costumam aproximar
por
quando
é um ângulo pequeno (próximo de 0 ). Justifique essa aproximação.
Passo 1
O enunciado pede que eu justifique por que os físicos aproximam
por
quando
é um ângulo pequeno (próximo de
).
Informações relevantes dadas ou implícitas:
Informações relevantes dadas ou implícitas:
- O ângulo
é pequeno, isto é . - A aproximação só faz sentido se o ângulo estiver medido em radianos (vou explicar porquê).
- A justificativa pode ser tanto um argumento geométrico (limite) quanto uma expansão em série (erro estimado).
Passo 2
Intuição por limites e desigualdades geométricas — ideia principal: mostrar que
quando
. Vou construir a desigualdade clássica que leva a isso (usar uma circunferência de raio
). Considere
. Compare as áreas abaixo (todas com raio
):
- Área do triângulo inscrito formado pelo centro e dois pontos na circunferência é
. (Fórmula: área , com .) - Área do setor circular de ângulo
é . (Fórmula: área do setor , com .) - Área do triângulo formado pela tangente é
. (Geometria do triângulo formado pelo ponto de tangência e o centro.)
Essas três áreas estão em ordem crescente, logo
Cancelando o fator
obtemos a desigualdade clássica
Passo 3
Use a desigualdade para produzir um “squeeze” (teorema do sanduíche). A partir de
e lembrando que
, divida tudo por
:
Tomando recíprocos (todas as quantidades são positivas, então as desigualdades invertem-se corretamente) obtemos
Agora, quando
sabemos que
. Aplicando o teorema do sanduíche (squeeze theorem) segue que
Isto já justifica rigorosamente que
e
têm o mesmo comportamento dominante quando
é muito pequeno, ou seja
.
Passo 4
Explicação via série de Taylor — estimativa do erro. A expansão em série de Taylor de
ao redor de
é
Isso significa que
Daqui vemos imediatamente que o termo principal é
e o erro absoluto ao aproximar
por
é da ordem de
. Em termos práticos, o erro relativo é aproximadamente
Por exemplo, para
rad (
) o erro relativo aproximado é
(ou
), ou seja muito pequeno. Isso mostra também por que é crucial usar radianos: a série de Taylor acima só tem coeficientes numéricos simples como
quando
está em radianos; em graus os coeficientes teriam fatores adicionais.
Passo 5
Conclusão prática e quando usar essa aproximação na prova. Das duas justificativas:
- Pelo limite geométrico-obtido temos a afirmação rigorosa
. - Pela série de Taylor obtemos a ordem do erro
e a estimativa numérica do erro relativo .
Portanto, para ângulos pequenos medidos em radianos, é correto usar. Na prática, se rad a aproximação é muito boa; para um pouco maior (por exemplo até rad) ainda costuma ser aceitável dependendo da precisão exigida.
Passo 6
Exemplo rápido de uso no pêndulo: na equação exata do pêndulo sem atrito temos
Aproximando
obtemos a equação linear
que é um oscilador harmônico simples com frequência angular
e período
Essa simplificação é exatamente o motivo físico-prático para adotar a aproximação em problemas de pêndulo de pequenas oscilações.
Resposta
Porque
(prova geométrica:
e squeeze theorem) e porque a expansão de Taylor dá
, ou seja
; portanto para
pequeno (em radianos) tem-se
.