Ao estudar o movimento de um pêndulo simples, os físicos costumam aproximar \operatorname{sen} \theta por \theta quando \theta é um ângulo pequeno (próximo de 0 ). Justifique essa aproximação.

Passo 1

O enunciado pede que eu justifique por que os físicos aproximam \operatorname{sen}\theta por \theta quando \theta é um ângulo pequeno (próximo de 0).
Informações relevantes dadas ou implícitas:
  • O ângulo \theta é pequeno, isto é \theta\to0.
  • A aproximação só faz sentido se o ângulo estiver medido em radianos (vou explicar porquê).
  • A justificativa pode ser tanto um argumento geométrico (limite) quanto uma expansão em série (erro estimado).

Passo 2

Intuição por limites e desigualdades geométricas — ideia principal: mostrar que \dfrac{\sin\theta}{\theta}\to1 quando \theta\to0. Vou construir a desigualdade clássica que leva a isso (usar uma circunferência de raio 1). Considere 0<\theta<\tfrac{\pi}{2}. Compare as áreas abaixo (todas com raio 1):
  • Área do triângulo inscrito formado pelo centro e dois pontos na circunferência é \dfrac{1}{2}\sin\theta. (Fórmula: área =\dfrac{1}{2}r^2\sin\theta, com r=1.)
  • Área do setor circular de ângulo \theta é \dfrac{1}{2}\theta. (Fórmula: área do setor =\dfrac{1}{2}r^2\theta, com r=1.)
  • Área do triângulo formado pela tangente é \dfrac{1}{2}\tan\theta. (Geometria do triângulo formado pelo ponto de tangência e o centro.)
    Essas três áreas estão em ordem crescente, logo
\dfrac{1}{2}\sin\theta < \dfrac{1}{2}\theta < \dfrac{1}{2}\tan\theta.
Cancelando o fator \tfrac{1}{2} obtemos a desigualdade clássica
\sin\theta < \theta < \tan\theta.

Passo 3

Use a desigualdade para produzir um “squeeze” (teorema do sanduíche). A partir de \sin\theta<\theta<\tan\theta e lembrando que \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}, divida tudo por \sin\theta>0:
1 < \dfrac{\theta}{\sin\theta} < \dfrac{1}{\cos\theta}.
Tomando recíprocos (todas as quantidades são positivas, então as desigualdades invertem-se corretamente) obtemos
\cos\theta < \dfrac{\sin\theta}{\theta} < 1.
Agora, quando \theta\to0 sabemos que \cos\theta\to1. Aplicando o teorema do sanduíche (squeeze theorem) segue que
\lim_{\theta\to0}\dfrac{\sin\theta}{\theta}=1.
Isto já justifica rigorosamente que \sin\theta e \theta têm o mesmo comportamento dominante quando \theta é muito pequeno, ou seja \sin\theta\approx\theta.

Passo 4

Explicação via série de Taylor — estimativa do erro. A expansão em série de Taylor de \sin\theta ao redor de \theta=0 é
\sin\theta = \theta - \dfrac{\theta^3}{3!} + \dfrac{\theta^5}{5!} - \cdots.
Isso significa que
\sin\theta = \theta - \dfrac{\theta^3}{6} + O(\theta^5).
Daqui vemos imediatamente que o termo principal é \theta e o erro absoluto ao aproximar \sin\theta por \theta é da ordem de \theta^3. Em termos práticos, o erro relativo é aproximadamente
\frac{|\sin\theta-\theta|}{|\theta|}\approx \dfrac{\theta^2}{6}.
Por exemplo, para \theta=0{,}1 rad ( \approx5{,}7^\circ) o erro relativo aproximado é \dfrac{(0{,}1)^2}{6}\approx0{,}001667 (ou 0{,}1667\%), ou seja muito pequeno. Isso mostra também por que é crucial usar radianos: a série de Taylor acima só tem coeficientes numéricos simples como 1,\,-1/6,\ldots quando \theta está em radianos; em graus os coeficientes teriam fatores adicionais.

Passo 5

Conclusão prática e quando usar essa aproximação na prova. Das duas justificativas:
  • Pelo limite geométrico-obtido temos a afirmação rigorosa \lim_{\theta\to0}\dfrac{\sin\theta}{\theta}=1.
  • Pela série de Taylor obtemos a ordem do erro \sin\theta=\theta+O(\theta^3) e a estimativa numérica do erro relativo \approx \dfrac{\theta^2}{6}.
    Portanto, para ângulos pequenos medidos em radianos, é correto usar \sin\theta\approx\theta. Na prática, se \theta\lesssim0{,}1 rad a aproximação é muito boa; para \theta um pouco maior (por exemplo até 0{,}2 rad) ainda costuma ser aceitável dependendo da precisão exigida.

Passo 6

Exemplo rápido de uso no pêndulo: na equação exata do pêndulo sem atrito temos
\theta''(t) + \dfrac{g}{L}\sin\theta(t)=0.
Aproximando \sin\theta\approx\theta obtemos a equação linear
\theta''(t) + \dfrac{g}{L}\theta(t)=0,
que é um oscilador harmônico simples com frequência angular \omega=\sqrt{\dfrac{g}{L}} e período
T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}.
Essa simplificação é exatamente o motivo físico-prático para adotar a aproximação em problemas de pêndulo de pequenas oscilações.

Resposta

Porque \displaystyle\lim_{\theta\to0}\dfrac{\sin\theta}{\theta}=1 (prova geométrica: \cos\theta<\dfrac{\sin\theta}{\theta}<1 e squeeze theorem) e porque a expansão de Taylor dá \displaystyle\sin\theta=\theta-\dfrac{\theta^3}{6}+O(\theta^5), ou seja \sin\theta=\theta+O(\theta^3); portanto para \theta pequeno (em radianos) tem-se \sin\theta\approx\theta.

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