A aresta de um cubo mede 10 c m \pm 0,05 c m, indicando que a margem de erro na medida da aresta é 0,05 c m, para mais ou para menos. Determine o volume e a área da superfície do cubo com suas respectivas incertezas nas medidas (use diferenciais para estimar a incerteza).

Passo 1

O enunciado dá a medida da aresta do cubo com sua margem de erro e pede o volume e a área da superfície com as incertezas estimadas. Informação dada:
a = 10\\ \text{cm} \pm 0,05\\ \text{cm},
ou seja, a medida nominal da aresta é \,a=10\\ \text{cm}\, e a incerteza absoluta na aresta é \,\Delta a = 0,05\\ \text{cm}.
O que se pede:
  • Determinar o volume do cubo com sua incerteza (usar diferenciais para estimar a incerteza).
  • Determinar a área da superfície do cubo com sua incerteza (usar diferenciais para estimar a incerteza).

Passo 2

Conceito usado: diferenciais (aproximação linear).
  • Se uma grandeza y depende de uma variável x por uma função y=f(x), então uma pequena variação em x, chamada \mathrm{d}x, provoca aproximadamente uma variação em y dada por
\mathrm{d}y = f'(x)\,\mathrm{d}x,
onde f'(x) é a derivada de f em relação a x. Essa é a aproximação linear de f perto de x.
  • Para estimar a incerteza absoluta \Delta y causada por uma incerteza \Delta x, usamos a aproximação
\Delta y \approx |\mathrm{d}y| = |f'(x)|\,\Delta x.
Explicando de forma prática: derivada diz a inclinação da função; multiplicando essa inclinação pela variação em x obtemos a variação aproximada em y. É isso que chamamos de método dos diferenciais para estimar incertezas.

Passo 3

Aplicação ao volume.
  • A expressão do volume de um cubo em função da aresta a é
V(a)=a^{3}.
  • Derivando em relação a a:
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}a}=3a^{2}.
  • A diferencial (variação aproximada do volume) é
\mathrm{d}V = 3a^{2}\,\mathrm{d}a.
  • Substituímos a=10\\ \text{cm} e \Delta a = 0,05\\ \text{cm} (usamos \Delta V \approx |\mathrm{d}V|):
\Delta V \approx 3\cdot(10\\ \text{cm})^{2}\cdot 0,05\\ \text{cm}.
  • Calcule passo a passo:
(10\\ \text{cm})^{2}=100\\ \text{cm}^{2},
3\cdot 100\\ \text{cm}^{2}=300\\ \text{cm}^{2},
300\\ \text{cm}^{2}\cdot 0,05\\ \text{cm}=15\\ \text{cm}^{3}.
  • O volume nominal é
V(10\\ \text{cm})=(10\\ \text{cm})^{3}=1000\\ \text{cm}^{3}.
  • Portanto, estimativa com incerteza:
V = 1000\\ \text{cm}^{3} \pm 15\\ \text{cm}^{3}.

Passo 4

Aplicação à área da superfície.
  • A área da superfície de um cubo (as seis faces) em função de a é
S(a)=6a^{2}.
  • Derivando:
\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}a}=12a.
  • A diferencial é
\mathrm{d}S = 12a\,\mathrm{d}a.
  • Substituindo a=10\\ \text{cm} e \Delta a=0,05\\ \text{cm}:
\Delta S \approx 12\cdot 10\\ \text{cm}\cdot 0,05\\ \text{cm}.
  • Calcule passo a passo:
12\cdot 10\\ \text{cm}=120\\ \text{cm},
120\\ \text{cm}\cdot 0,05\\ \text{cm}=6\\ \text{cm}^{2}.
  • A área nominal é
S(10\\ \text{cm})=6\cdot(10\\ \text{cm})^{2}=6\cdot 100\\ \text{cm}^{2}=600\\ \text{cm}^{2}.
  • Portanto, estimativa com incerteza:
S = 600\\ \text{cm}^{2} \pm 6\\ \text{cm}^{2}.

Resposta

V = 1000 \pm 15\\ \text{cm}^{3}\n S = 600 \pm 6\\ \text{cm}^{2}

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