A aresta de um cubo mede
, indicando que a margem de erro na medida da aresta é
, para mais ou para menos. Determine o volume e a área da superfície do cubo com suas respectivas incertezas nas medidas (use diferenciais para estimar a incerteza).
Passo 1
O enunciado dá a medida da aresta do cubo com sua margem de erro e pede o volume e a área da superfície com as incertezas estimadas. Informação dada:
ou seja, a medida nominal da aresta é
e a incerteza absoluta na aresta é
O que se pede:
O que se pede:
- Determinar o volume do cubo com sua incerteza (usar diferenciais para estimar a incerteza).
- Determinar a área da superfície do cubo com sua incerteza (usar diferenciais para estimar a incerteza).
Passo 2
Conceito usado: diferenciais (aproximação linear).
- Se uma grandeza
depende de uma variável por uma função , então uma pequena variação em , chamada , provoca aproximadamente uma variação em dada por
onde
é a derivada de
em relação a
. Essa é a aproximação linear de
perto de
.
- Para estimar a incerteza absoluta
causada por uma incerteza , usamos a aproximação
Explicando de forma prática: derivada diz a inclinação da função; multiplicando essa inclinação pela variação em
obtemos a variação aproximada em
. É isso que chamamos de método dos diferenciais para estimar incertezas.
Passo 3
Aplicação ao volume.
- A expressão do volume de um cubo em função da aresta
é
- Derivando em relação a
:
- A diferencial (variação aproximada do volume) é
- Substituímos
e (usamos ):
- Calcule passo a passo:
- O volume nominal é
- Portanto, estimativa com incerteza:
Passo 4
Aplicação à área da superfície.
- A área da superfície de um cubo (as seis faces) em função de
é
- Derivando:
- A diferencial é
- Substituindo
e :
- Calcule passo a passo:
- A área nominal é
- Portanto, estimativa com incerteza: