Use diferencial para estimar o volume de tinta necessário para pintar uma grande esfera com raio 50 m com uma camada de 1 m m de tinta.

Passo 1

O enunciado pede que eu estime o volume de tinta necessário para cobrir uma esfera grande com raio 50\\ \mathrm{m} com uma camada de tinta de espessura 1\\ \mathrm{mm}.
Informações dadas:
r = 50\\ \mathrm{m}
\text{espessura } = 1\\ \mathrm{mm} = 0,001\\ \mathrm{m}
A tarefa é usar diferenciais (aproximação diferencial) para estimar o volume da camada de tinta.

Passo 2

Escrevo a fórmula do volume de uma esfera (isso é informação que vou usar):
V = \frac{4}{3}\pi r^3.
Explicação: aqui V é o volume da esfera em metros cúbicos e r é o raio em metros. Essa fórmula é padrão: o volume cresce como o cubo do raio.

Passo 3

Calculo a derivada de V em relação a r. Isso nos diz como o volume muda quando o raio muda um pouco:
\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr}\!\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right).
Como \frac{d}{dr}(r^3)=3r^2, obtemos
\frac{dV}{dr} = \frac{4}{3}\pi \cdot 3r^2 = 4\pi r^2.
Interpretação didática: \frac{dV}{dr} tem unidades de \mathrm{m}^2 e, numericamente, é a área da superfície da esfera. Isso faz sentido físico: um pequeno aumento do raio aumenta o volume aproximadamente pela área de superfície vezes a espessura adicionada.

Passo 4

Explico a aproximação diferencial que vamos usar. Se o raio muda de r para r+\Delta r com \Delta r pequeno, o aumento de volume \Delta V pode ser aproximado por
\Delta V \approx dV = \frac{dV}{dr}\,dr,
onde dr é a mudança pequena do raio (a espessura da tinta). Aqui dr = 0,001\\ \mathrm{m}. Substituindo:
dV \approx 4\pi r^2 \, dr.

Passo 5

Agora faço os cálculos numéricos passo a passo (sem pular):
Calculo r^2:
r^2 = 50^2 = 2500.
Multiplico na expressão do diferencial:
dV \approx 4\pi \cdot 2500 \cdot 0,001.
Simplifico 2500\cdot 0,001 = 2,5, portanto
dV \approx 4\pi \cdot 2,5 = 10\pi.
Em unidades isso é 10\pi\\ \mathrm{m}^3. Convertendo para número aproximado,
10\pi \approx 31,416\\ \mathrm{m}^3.

Passo 6

Dou uma checada rápida no erro da aproximação (para você ficar tranquilo). Expansão exata:
(r+dr)^3 = r^3 + 3r^2 dr + 3r\,dr^2 + dr^3,
logo o aumento de volume real é
\Delta V = \frac{4}{3}\pi\big(3r^2 dr + 3r\,dr^2 + dr^3\big) = 4\pi r^2 dr + 4\pi r\,dr^2 + \frac{4}{3}\pi dr^3.
O termo que ignoramos na aproximação é 4\pi r\,dr^2 + \tfrac{4}{3}\pi dr^3. Para r=50 e dr=0,001 temos
4\pi r\,dr^2 = 4\pi\cdot 50\cdot (0,001)^2 = 0,0002\pi \approx 0,000628\\ \mathrm{m}^3,
que é muito pequeno em comparação com 10\pi\approx 31,416\\ \mathrm{m}^3. Portanto a aproximação diferencial é excelente aqui (erro relativo da ordem de 10^{-5}).

Resposta

\approx 31,416\\ \mathrm{m}^3

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