Use diferencial para estimar o volume de tinta necessário para pintar uma grande esfera com raio
com uma camada de
de tinta.
Passo 1
O enunciado pede que eu estime o volume de tinta necessário para cobrir uma esfera grande com raio
com uma camada de tinta de espessura
.
Informações dadas:
Informações dadas:
A tarefa é usar diferenciais (aproximação diferencial) para estimar o volume da camada de tinta.
Passo 2
Escrevo a fórmula do volume de uma esfera (isso é informação que vou usar):
Explicação: aqui
é o volume da esfera em metros cúbicos e
é o raio em metros. Essa fórmula é padrão: o volume cresce como o cubo do raio.
Passo 3
Calculo a derivada de
em relação a
. Isso nos diz como o volume muda quando o raio muda um pouco:
Como
, obtemos
Interpretação didática:
tem unidades de
e, numericamente, é a área da superfície da esfera. Isso faz sentido físico: um pequeno aumento do raio aumenta o volume aproximadamente pela área de superfície vezes a espessura adicionada.
Passo 4
Explico a aproximação diferencial que vamos usar. Se o raio muda de
para
com
pequeno, o aumento de volume
pode ser aproximado por
onde
é a mudança pequena do raio (a espessura da tinta). Aqui
. Substituindo:
Passo 5
Agora faço os cálculos numéricos passo a passo (sem pular):
Calculo :
Calculo
Multiplico na expressão do diferencial:
Simplifico
, portanto
Em unidades isso é
. Convertendo para número aproximado,
Passo 6
Dou uma checada rápida no erro da aproximação (para você ficar tranquilo). Expansão exata:
logo o aumento de volume real é
O termo que ignoramos na aproximação é
. Para
e
temos
que é muito pequeno em comparação com
. Portanto a aproximação diferencial é excelente aqui (erro relativo da ordem de
).