Determinar as curvas de nível na seguinte função f(x ; y)=\frac{2 x}{x^{2}+y^{2}}. Para C=;-1 ; 1 e 2 .

Passo 1

O enunciado pede: determinar as curvas de nível da função f dadas pelos valores constantes C=-1, C=1 e C=2.
Informações fornecidas:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{2x}{x^{2}+y^{2}}.
  • Os valores de nível pedidos são C=-1, C=1 e C=2.
  • Implicitamente a função está definida apenas quando o denominador é diferente de zero, isto é, (x,y)\neq(0,0).

Passo 2

O que significa “curva de nível” de uma função f(x,y)?
Uma curva de nível associada a um valor constante C é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem
f(x,y)=C.
No nosso caso, isso vira a equação
\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}=C,
com a restrição (x,y)\neq(0,0). O objetivo é transformar essa equação numa forma geométrica conhecida (por exemplo, círculo, reta, hipérbole) para identificar a curva.

Passo 3

Partimos da equação do nível e multiplicamos ambos os lados por x^{2}+y^{2} (lembrando que x^{2}+y^{2}>0 exceto no ponto excluído):
2x = C\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
Reescrevendo tudo num lado:
C x^{2} - 2x + C y^{2} = 0.
Essa é a equação que vamos manipular para identificar a curva.

Passo 4

Consideramos primeiro o caso geral C\neq 0. Dividindo a equação por C obtemos
x^{2} - \frac{2}{C}x + y^{2} = 0.
Agora completamos o quadrado em x. Para completar o quadrado em x^{2}-\dfrac{2}{C}x, somamos e subtraímos \left(\dfrac{1}{C}\right)^{2}:
\left(x - \frac{1}{C}\right)^{2} - \frac{1}{C^{2}} + y^{2} = 0.
Isolando os termos quadráticos completos:
\left(x - \frac{1}{C}\right)^{2} + y^{2} = \frac{1}{C^{2}}.

Passo 5

A equação obtida
\left(x - \frac{1}{C}\right)^{2} + y^{2} = \frac{1}{C^{2}}
é a equação de um círculo de centro \left(\dfrac{1}{C},0\right) e raio \dfrac{1}{|C|}, válida quando C\neq 0. Observações importantes:
  • O raio é sempre positivo e dado por \dfrac{1}{|C|}.
  • A distância do centro \left(\dfrac{1}{C},0\right) até a origem é \left|\dfrac{1}{C}\right|, que é exatamente o raio. Logo, geometrically, o círculo passa pela origem (0,0).
  • Porém, (0,0) não pertence ao domínio de f, então a curva de nível é esse círculo com o ponto (0,0) excluído (o círculo pontilhado no zero).
Também vale comentar o caso C=0 (ainda que não pedido): se C=0 a equação original dá 2x=0, ou seja x=0 com y\neq 0. Isso é o eixo y sem incluir a origem.

Passo 6

Aplicando a fórmula geral para cada C pedido:
  • Para C=-1: centro \left(\dfrac{1}{-1},0\right)=(-1,0) e raio \dfrac{1}{|-1|}=1. Equação do círculo:
(x+1)^{2}+y^{2}=1,
com o ponto (0,0) excluído.
  • Para C=1: centro \left(\dfrac{1}{1},0\right)=(1,0) e raio \dfrac{1}{1}=1. Equação do círculo:
(x-1)^{2}+y^{2}=1,
com o ponto (0,0) excluído.
  • Para C=2: centro \left(\dfrac{1}{2},0\right) e raio \dfrac{1}{2}. Equação do círculo:
\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+y^{2}=\tfrac{1}{4},
com o ponto (0,0) excluído.
Em todas as três curvas o ponto (0,0) satisfaria a equação do círculo, mas não pertence ao domínio de f, então deve ser removido.

Resposta

Para C=-1: (x+1)^{2}+y^{2}=1, com (0,0) excluído.
Para C=1: (x-1)^{2}+y^{2}=1, com (0,0) excluído.
Para C=2: \left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+y^{2}=\tfrac{1}{4}, com (0,0) excluído.

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