Sendo A(1,-2,2), B(3,0,1), C(3,-2,0) vértices de um triângulo, determinar a equação da reta suporte da altura baixada do vértice C.
(Dica: aplicar duas vezes o produto vetorial)

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta que passa por C(3,-2,0) e é perpendicular ao lado AB do triângulo ABC. Estamos em R^3 e vamos usar geometria vetorial: duas aplicações de produto vetorial para obter a direção da altura de C.

Passo 2

Primeiro, determinamos os vetores que formam o lado AB e o lado AC:
AB = B - A = (3-1,;0-(-2),;1-2) = (2,2,-1),
AC = C - A = (3-1,;-2-(-2),;0-2) = (2,0,-2)

Passo 3

Em seguida, achamos um vetor normal ao plano ABC usando o produto vetorial
n = AB times AC
Calculando em determinante,
n = i & j & k 2 & 2 & -1 2 & 0 & -2 = (-4,;2,;-4)
Podemos simplificar para n = (4,-2,4), mudando o sinal.

Passo 4

A direção da altura de C é um vetor v que seja perpendicular a AB e também contido no plano ABC. Para isso fazemos
v = n times AB = (4,-2,4)times(2,2,-1)
Novamente em determinante,
v = i & j & k 4 & -2 & 4 2 & 2 & -1 = (-6,;12,;12)
Dividindo por 6 para simplificar, obtemos
v = (-1,2,2)

Passo 5

Agora escrevemos a reta suporte da altura de C usando o ponto C(3,-2,0) e a direção v=(-1,2,2). A forma paramétrica é
x = 3 - t, y = -2 + 2t, z = 0 + 2t, tinR
Em forma simétrica,
x-3-1 = y+22 = z2

Resposta

A reta suporte da altura de C é dada por
x = 3 - t, y = -2 + 2t, z = 2t, tinR,
ou, equivalentemente,
x-3-1 = y+22 = z2

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