Sendo vértices de um triângulo, determinar a equação da reta suporte da altura baixada do vértice .
(Dica: aplicar duas vezes o produto vetorial)
Passo 1
O enunciado pede a equação da reta que passa por e é perpendicular ao lado do triângulo . Estamos em e vamos usar geometria vetorial: duas aplicações de produto vetorial para obter a direção da altura de .
Passo 2
Primeiro, determinamos os vetores que formam o lado e o lado :
Passo 3
Em seguida, achamos um vetor normal ao plano usando o produto vetorial
Calculando em determinante,
Podemos simplificar para n = (4,-2,4), mudando o sinal.
Passo 4
A direção da altura de C é um vetor v que seja perpendicular a AB e também contido no plano ABC. Para isso fazemos
v = n times AB = (4,-2,4)times(2,2,-1)
Novamente em determinante,
v = i & j & k 4 & -2 & 4 2 & 2 & -1 = (-6,;12,;12)
Dividindo por 6 para simplificar, obtemos
v = (-1,2,2)
Passo 5
Agora escrevemos a reta suporte da altura de C usando o ponto C(3,-2,0) e a direção v=(-1,2,2). A forma paramétrica é