Seja
, onde
Determine uma base para o subespaço ortogonal
.
(1,5 ponto)
(1,5 ponto)
Passo 1
O enunciado pede uma base para o subespaço ortogonal
de
onde
O conteúdo aqui é produto interno e subespaço ortogonal, e vamos precisar resolver o sistema homogêneo dado pelas condições de ortogonalidade
.
Passo 2
Primeiro observamos que
logo
são linearmente dependentes e
. Em
, isso implica
.
Passo 3
Escrevemos as equações de ortogonalidade
A segunda é equivalente à é redundante (soma da primeira com a segunda).
Passo 4
Para resolver, tomamos
e
como parâmetros. Da segunda equação segue
Substituindo na primeira:
Então
Passo 5
Portanto o vetor geral em
é
Como
são linearmente independentes e geram
, elas formam uma base.
Resposta
A base escolhida para
é