Seja W=spanv1, v2, v3, onde
v1=(1,2,3,4), v2=(2,3,4,5), v3=(1,1,1,1)
Determine uma base para o subespaço ortogonal W^perp.
(1,5 ponto)

Passo 1

O enunciado pede uma base para o subespaço ortogonal de
onde
O conteúdo aqui é produto interno e subespaço ortogonal, e vamos precisar resolver o sistema homogêneo dado pelas condições de ortogonalidade .

Passo 2

Primeiro observamos que
vec v2 = vec v1 + vec v3,
logo vec v1,vec v2,vec v3 são linearmente dependentes e dim W=2. Em R^4, isso implica dim W^perp=4-2=2.

Passo 3

Escrevemos as equações de ortogonalidade
A segunda é equivalente à é redundante (soma da primeira com a segunda).

Passo 4

Para resolver, tomamos x3=t e x4=s como parâmetros. Da segunda equação segue
x1 = -x2 - x3 - x4
Substituindo na primeira:
(-x2-x3-x4)+2x2+3x3+4x4=0 Longrightarrow x2+2x3+3x4=0 Longrightarrow x2=-2t-3s
Então
x1=-( -2t-3s ) - t - s = t + 2s

Passo 5

Portanto o vetor geral em W^perp é
vec x = (x1,x2,x3,x4) = (t+2s,,-2t-3s,;t,;s) = t,(1,-2,1,0) + s,(2,-3,0,1)
Como (1,-2,1,0),(2,-3,0,1) são linearmente independentes e geram W^perp, elas formam uma base.

Resposta

A base escolhida para W^perp é
,(1,-2,1,0),;(2,-3,0,1)

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