Estude os capítulos 9 a 12 do livro texto da disciplina de Circuitos Elétricos (ref. ALEXANDER/SADIKU) e elabore respostas de sua autoria (com suas próprias palavras, redigidas à mão por você) para as questões a seguir:
Explique porque a potência ativa dissipada em uma impedância é o valor médio da função p(t), que descreve a variação da potência no domínio do tempo.

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar por que a potência ativa dissipada em uma impedância é o valor médio da função p(t), sendo p(t) a potência instantânea no domínio do tempo.
Informações dadas (implícitas e necessárias para resolver):
  • Temos uma situação senoidal em regime estacionário (tensão e corrente senoidais).
  • A potência instantânea é definida por p(t)=v(t)\,i(t).
  • Precisamos relacionar essa p(t) com a potência ativa (aquela que realmente é dissipada, por exemplo em resistência) e mostrar que a potência ativa é a média temporal de p(t).

Passo 2

Definição das grandezas senoidais e notação (explico o que é cada símbolo):
  • Escrevemos a tensão instantânea como \displaystyle v(t)=V_{m}\cos\bigl(\omega t+\theta_{v}\bigr), onde:
    • \displaystyle V_{m} é a amplitude de pico da tensão;
    • \displaystyle \omega é a frequência angular;
    • \displaystyle \theta_{v} é a fase da tensão.
  • Escrevemos a corrente instantânea como \displaystyle i(t)=I_{m}\cos\bigl(\omega t+\theta_{i}\bigr), onde:
    • \displaystyle I_{m} é a amplitude de pico da corrente;
    • \displaystyle \theta_{i} é a fase da corrente.
RMS e phasores (porque aparecem naturalmente na potência):
  • Tensão eficaz (RMS): \displaystyle V_{\text{rms}}=\dfrac{V_{m}}{\sqrt{2}}.
  • Corrente eficaz (RMS): \displaystyle I_{\text{rms}}=\dfrac{I_{m}}{\sqrt{2}}.
  • Phasor de tensão (usar amplitude de pico): \displaystyle V=V_{m}\angle \theta_{v}.
  • Phasor de corrente: \displaystyle I=I_{m}\angle \theta_{i}.
Explicação curta: RMS é a forma conveniente de medir a amplitude “equivalente” em potência; phasor é representação complexa que guarda amplitude e fase.

Passo 3

Calcular a potência instantânea p(t) e expandir o produto:
  • Produto direto: p(t)=v(t)\,i(t)=V_{m}\cos(\omega t+\theta_{v})\;I_{m}\cos(\omega t+\theta_{i}).
  • Usamos a identidade trigonométrica \cos A\cos B=\tfrac{1}{2}\bigl[\cos(A-B)+\cos(A+B)\bigr],que vale para quaisquer ângulos A e B.
  • Aplicando a identidade com A=\omega t+\theta_{v} e B=\omega t+\theta_{i}: p(t)=V_{m}I_{m}\cdot\tfrac{1}{2}\bigl[\cos(\theta_{v}-\theta_{i})+\cos(2\omega t+\theta_{v}+\theta_{i})\bigr].
  • Simplificando: \boxed{p(t)=\dfrac{V_{m}I_{m}}{2}\cos(\theta_{v}-\theta_{i})\;+\;\dfrac{V_{m}I_{m}}{2}\cos(2\omega t+\theta_{v}+\theta_{i}).}
Interpretação desta expressão:
  • O primeiro termo \dfrac{V_{m}I_{m}}{2}\cos(\theta_{v}-\theta_{i}) é constante no tempo (componente CC).
  • O segundo termo \dfrac{V_{m}I_{m}}{2}\cos(2\omega t+\theta_{v}+\theta_{i}) oscila com frequência 2\omega (componente AC torno a zero média).

Passo 4

Calcular a média temporal de p(t) em um período T=\dfrac{2\pi}{\omega}:
  • A média definida por \overline{p}=\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}p(t)\,dt.
  • A média do termo constante é ele mesmo: \dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}\dfrac{V_{m}I_{m}}{2}\cos(\theta_{v}-\theta_{i})\,dt=\dfrac{V_{m}I_{m}}{2}\cos(\theta_{v}-\theta_{i}).
  • A média do termo oscilante é zero, porque \cos(2\omega t+\text{const}) integra para zero em qualquer intervalo de tempo de duração igual a um período de \cos(2\omega t). Formalmente, \dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}\cos(2\omega t+\theta_{v}+\theta_{i})\,dt=0.
  • Logo a média (potência ativa) é \boxed{\overline{p}=P=\dfrac{V_{m}I_{m}}{2}\cos(\theta_{v}-\theta_{i}).}
Converter para formas usuais com RMS e fator de potência:
  • Como \displaystyle V_{\text{rms}}=\dfrac{V_{m}}{\sqrt{2}} e \displaystyle I_{\text{rms}}=\dfrac{I_{m}}{\sqrt{2}}, temos P=V_{\text{rms}}I_{\text{rms}}\cos\varphi,onde \displaystyle \varphi=\theta_{v}-\theta_{i} é a defasagem entre tensão e corrente. O termo \cos\varphi é o fator de potência.

Passo 5

Relação com potência complexa (mais compacta e muito usada em circuitos):
  • Definimos a potência complexa S=\dfrac{1}{2}VI^{*},onde V e I são os phasors (amplitude de pico com fase) e I^{*} é o conjugado complexo de I.
  • Calculando a parte real: \Re\{S\}=\Re\Bigl\{\dfrac{1}{2}V I^{*}\Bigr\}=\dfrac{V_{m}I_{m}}{2}\cos(\theta_{v}-\theta_{i})=P.
  • Portanto a potência ativa P é exatamente a parte real da potência complexa S e coincide com a média temporal de p(t).

Passo 6

Interpretação física (por que a média aparece e o termo oscilante não contribui para dissipação):
  • O termo constante em p(t) representa energia que, em média, sai do campo elétrico/magnético e é convertida irreversivelmente em calor, trabalho, etc. — é energia perdida por ciclo (dissipada).
  • O termo oscilante de frequência 2\omega representa energia que é armazenada temporariamente em elementos reativos (indutores e capacitores) e devolvida depois ao circuito; ao longo de um ciclo essa troca líquida é zero, por isso sua média é nula e ele não corresponde a dissipação.
  • Por isso, o valor que mede “energia realmente dissipada por unidade de tempo” é exatamente a média temporal de p(t).

Passo 7

Formas alternativas úteis (derivações rápidas usando impedância \,Z=R+jX,):
  • Se \,V=ZI, então P=\Re\Bigl\{\dfrac{1}{2}V I^{*}\Bigr\}=\Re\Bigl\{\dfrac{1}{2}Z\,I I^{*}\Bigr\}=\dfrac{1}{2}|I|^{2}\Re\{Z\}.
  • Como \Re\{Z\}=R e |I|^{2}=I_{m}^{2}, convertendo para RMS: P=I_{\text{rms}}^{2}R= \dfrac{V_{\text{rms}}^{2}R}{|Z|^{2}}.
  • Essas fórmulas mostram que apenas a parte real da impedância (a resistência R) dissipa potência ativa, reforçando a interpretação física.

Resposta

P=\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_{0}^{T}p(t)\,dt=\dfrac{V_{m}I_{m}}{2}\cos(\theta_{v}-\theta_{i})=V_{\text{rms}}I_{\text{rms}}\cos\varphi=\Re\!\left\{\dfrac{1}{2}VI^{*}\right\}.

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