Estude os capítulos 9 a 12 do livro texto da disciplina de Circuitos Elétricos (ref. ALEXANDER/SADIKU) e elabore respostas de sua autoria (com suas próprias palavras, redigidas à mão por você) para as questões a seguir:
Explique porque a potência ativa dissipada em uma impedância é o valor médio da função
, que descreve a variação da potência no domínio do tempo.
Explique porque a potência ativa dissipada em uma impedância é o valor médio da função
Passo 1
O que o enunciado pede: explicar por que a potência ativa dissipada em uma impedância é o valor médio da função
, sendo
a potência instantânea no domínio do tempo.
Informações dadas (implícitas e necessárias para resolver):
- Temos uma situação senoidal em regime estacionário (tensão e corrente senoidais).
- A potência instantânea é definida por
. - Precisamos relacionar essa
com a potência ativa (aquela que realmente é dissipada, por exemplo em resistência) e mostrar que a potência ativa é a média temporal de .
Passo 2
Definição das grandezas senoidais e notação (explico o que é cada símbolo):
- Escrevemos a tensão instantânea como
, onde: -
é a amplitude de pico da tensão; -
é a frequência angular; -
é a fase da tensão.
-
- Escrevemos a corrente instantânea como
, onde: -
é a amplitude de pico da corrente; -
é a fase da corrente.
-
RMS e phasores (porque aparecem naturalmente na potência):
- Tensão eficaz (RMS):
. - Corrente eficaz (RMS):
. - Phasor de tensão (usar amplitude de pico):
. - Phasor de corrente:
.
Explicação curta: RMS é a forma conveniente de medir a amplitude “equivalente” em potência; phasor é representação complexa que guarda amplitude e fase.
Passo 3
Calcular a potência instantânea
e expandir o produto:
- Produto direto:
- Usamos a identidade trigonométrica
que vale para quaisquer ângulos e . - Aplicando a identidade com
e : - Simplificando:
Interpretação desta expressão:
- O primeiro termo
é constante no tempo (componente CC). - O segundo termo
oscila com frequência (componente AC torno a zero média).
Passo 4
Calcular a média temporal de
em um período
:
- A média definida por
- A média do termo constante é ele mesmo:
- A média do termo oscilante é zero, porque
integra para zero em qualquer intervalo de tempo de duração igual a um período de . Formalmente, - Logo a média (potência ativa) é
Converter para formas usuais com RMS e fator de potência:
- Como
e , temos onde é a defasagem entre tensão e corrente. O termo é o fator de potência.
Passo 5
Relação com potência complexa (mais compacta e muito usada em circuitos):
- Definimos a potência complexa
onde e são os phasors (amplitude de pico com fase) e é o conjugado complexo de . - Calculando a parte real:
- Portanto a potência ativa
é exatamente a parte real da potência complexa e coincide com a média temporal de .
Passo 6
Interpretação física (por que a média aparece e o termo oscilante não contribui para dissipação):
- O termo constante em
representa energia que, em média, sai do campo elétrico/magnético e é convertida irreversivelmente em calor, trabalho, etc. — é energia perdida por ciclo (dissipada). - O termo oscilante de frequência
representa energia que é armazenada temporariamente em elementos reativos (indutores e capacitores) e devolvida depois ao circuito; ao longo de um ciclo essa troca líquida é zero, por isso sua média é nula e ele não corresponde a dissipação. - Por isso, o valor que mede “energia realmente dissipada por unidade de tempo” é exatamente a média temporal de
.
Passo 7
Formas alternativas úteis (derivações rápidas usando impedância
,):
- Se
, então - Como
e , convertendo para RMS: - Essas fórmulas mostram que apenas a parte real da impedância (a resistência
) dissipa potência ativa, reforçando a interpretação física.