Estude um circuito RLC em série e encontre expressões para a carga no capacitor e a corrente no indutor e resistor. Faça uma análise da mudança da frequência de oscilação em relação ao caso do item 18. Aborde os amortecimentos críticos e não críticos das oscilações das grandezas típicas.

Passo 1

O enunciado pede o estudo do circuito RLC em série, ou seja, temos um indutor L, um resistor R e um capacitor C ligados em série sem fonte externa, e queremos encontrar as expressões temporais da carga no capacitor q(t) e da corrente que passa por todos os elementos i(t). O conteúdo envolvido é a equação diferencial de segunda ordem com amortecimento, típica de circuitos elétricos e sistemas massa-mola-amortecedor. Para resolver precisamos:
  1. Escrever a KVL e expressar i(t)=\tfrac{dq}{dt}.
  2. Montar a equação característica e identificar os parâmetros de amortecimento.
  3. Classificar os regimes (sobreamortecido, criticamente amortecido e subamortecido) e escrever q(t) e i(t) em cada caso.
  4. Comparar a frequência de oscilação amortecida com a frequência natural não amortecida \omega_0.

Passo 2

Aplicando KVL no laço série e lembrando que i(t)=q'(t), temos
L\,i'(t)+R\,i(t)+\frac{q(t)}{C}=0.
Como i=q', isto vira
L\,q''(t)+R\,q'(t)+\frac{1}{C}\,q(t)=0.
Divide-se por L para obter a forma padrão
q''(t)+2\alpha\,q'(t)+\omega_0^2\,q(t)=0,
onde definimos
\alpha=\frac{R}{2L}, \qquad \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}.
O coeficiente de amortecimento adimensional é
\zeta=\frac{\alpha}{\omega_0} =\frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}.

Passo 3

Regime sobreamortecido \zeta>1: as raízes da equação característica
s^2+2\alpha s+\omega_0^2=0
são reais e distintas,
s_{1,2}=-\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}.
A solução geral para a carga é
q(t)=A\,e^{s_1 t}+B\,e^{s_2 t},
e a corrente
i(t)=q'(t)=A\,s_1\,e^{s_1 t}+B\,s_2\,e^{s_2 t}.
Como é série, essa mesma i(t) é a corrente no resistor e no indutor.

Passo 4

Regime criticamente amortecido \zeta=1, isto é, \alpha=\omega_0: as duas raízes coincidem em s=-\alpha e a solução fica
q(t)=(A+Bt)\,e^{-\alpha t},
i(t)=q'(t) =B\,e^{-\alpha t}-\alpha\,(A+Bt)\,e^{-\alpha t}.
Não ocorrem oscilações, apenas decaimento exponencial “mais lento” que no sobreamortecido.

Passo 5

Regime subamortecido \zeta<1: as raízes são complexas
s=-\alpha\pm j\omega_d, \qquad \omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2} =\omega_0\sqrt{1-\zeta^2}.
A solução mais usada é
q(t)=Q_0\,e^{-\alpha t}\cos\bigl(\omega_d t+\varphi\bigr),
e daí
i(t)=q'(t) =Q_0\,e^{-\alpha t}\bigl[-\alpha\cos(\omega_d t+\varphi) -\omega_d\sin(\omega_d t+\varphi)\bigr].
Essas expressões mostram oscilações amortecidas com frequência \omega_d.

Passo 6

Comparando com o caso não amortecido (item 18), em que \omega_0=1/\sqrt{LC} é a única frequência de oscilação, vemos que no caso subamortecido a frequência efetiva é
\omega_d=\omega_0\sqrt{1-\zeta^2},
ou seja, \omega_d<\omega_0. Nos regimes crítico e sobreamortecido não há oscilações — a resposta é puramente real e decai sem oscilar.

Resposta

Em resumo, para o circuito RLC série livre:
  • Equação diferencial:
q''+2\alpha\,q'+\omega_0^2\,q=0, \quad \alpha=\frac{R}{2L}, \quad \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}, \quad \zeta=\frac{\alpha}{\omega_0}.
  • Sobreamortecido \zeta>1:
q=Ae^{s_1 t}+Be^{s_2 t}, \quad i=A\,s_1e^{s_1 t}+B\,s_2e^{s_2 t}, \quad s_{1,2}=-\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}.
  • Criticamente amortecido \zeta=1:
q=(A+Bt)e^{-\alpha t}, \quad i=\bigl(B-\alpha(A+Bt)\bigr)e^{-\alpha t}.
  • Subamortecido \zeta<1:
q=Q_0e^{-\alpha t}\cos(\omega_d t+\varphi), \quad i=Q_0e^{-\alpha t}\bigl[-\alpha\cos(\cdots)-\omega_d\sin(\cdots)\bigr],
\omega_d=\omega_0\sqrt{1-\zeta^2}<\omega_0.
Assim, o amortecimento reduz a frequência de oscilação de \omega_0 para \omega_d, e nos casos crítico e sobreamortecido não há oscilação.

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