Estude o comportamento da função h em torno de x_{0}, nos casos:
h(x)=\left(x^{3}-1\right) /\left(x^{2}-4\right), x_{0}=2

Passo 1

O enunciado dá a função h e o ponto x_{0}:
  • h(x)=\dfrac{x^{3}-1}{x^{2}-4}.
  • x_{0}=2.
O que se pede (estudar o comportamento em torno de x_{0}):
  • Verificar se h está definida em x_{0}.
  • Calcular os limites laterais \lim_{x\to2^-}h(x) e \lim_{x\to2^+}h(x).
  • Concluir que tipo de descontinuidade há em x_{0} (removível, salto, infinita/assíntota vertical).
  • Descrever o sinal (se vai para +\infty ou -\infty) de cada lado.

Passo 2

Primeiro vamos ver onde a função está definida (domínio). O denominador é x^{2}-4. Factorizando:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
O denominador é zero quando x=2 ou x=-2. Logo, h(x) NÃO está definida em x=2. Portanto há alguma descontinuidade possível em x_{0}=2 — mas precisamos saber qual.

Passo 3

Avaliar o numerador em x=2 para saber se há cancelamento (caso de descontinuidade removível). Calcular:
x^{3}-1\quad\text{em}\quad x=2 \Rightarrow 2^{3}-1=8-1=7.
Como 7\neq 0, o numerador não se anula em x=2. Isso significa que não há fator (x-2) no numerador para cancelar o fator (x-2) do denominador. Conclusão provisória: a descontinuidade em x=2 não é removível (possivelmente é do tipo infinita).

Passo 4

Para determinar o comportamento (limites laterais), é útil escrever h(x) de forma que fique claro o papel de (x-2). Reescrevemos:
h(x)=\frac{x^{3}-1}{x^{2}-4}=\frac{x^{3}-1}{(x-2)(x+2)}.
Agora observe o fator \dfrac{x^{3}-1}{x+2}. Esse fator tende a um número finito quando x\to2, pois x+2\to4 e x^{3}-1\to7. Especificamente,
\lim_{x\to2}\frac{x^{3}-1}{x+2}=\frac{7}{4}.
Então, perto de x=2 podemos pensar
h(x)=\frac{x^{3}-1}{x+2}\cdot\frac{1}{x-2},
com o primeiro fator tendendo a \dfrac{7}{4} e o segundo fator \dfrac{1}{x-2} explodindo para \pm\infty conforme o sinal de x-2.

Passo 5

Calcular os limites laterais usando a decomposição acima.
  • Para x\to2^+ (aproximação pela direita), temos x-2>0 muito pequeno, logo \dfrac{1}{x-2}\to +\infty. O outro fator tende a \dfrac{7}{4}>0. Assim o produto tende a +\infty. Logo
\lim_{x\to2^+}h(x)=+\infty.
  • Para x\to2^- (aproximação pela esquerda), temos x-2<0 muito pequeno, logo \dfrac{1}{x-2}\to -\infty. O outro fator continua tendendo a \dfrac{7}{4}>0. Assim o produto tende a -\infty. Logo
\lim_{x\to2^-}h(x)=-\infty.

Passo 6

Interpretação e conclusão:
  • Os limites laterais são infinitos e de sinais opostos. Portanto o limite \lim_{x\to2}h(x) NÃO existe como número real.
  • A descontinuidade em x=2 é uma descontinuidade infinita do tipo assíntota vertical.
  • Perto de x=2 o comportamento assintótico pode ser aproximado por
h(x)\approx \frac{7}{4}\cdot\frac{1}{x-2},
ou seja, diverge aproximadamente como constante sobre (x-2).
Exemplo comparativo didático (para fixar a ideia): se o numerador tivesse sido (x^{3}-8) (que é zero em x=2), teríamos fator (x-2) no numerador e poderia ocorrer cancelamento, dando uma descontinuidade removível. Aqui não há esse cancelamento, por isso a divergência.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to2^-}h(x)=-\infty
\displaystyle \lim_{x\to2^+}h(x)=+\infty
h não está definida em x=2; x=2 é uma assíntota vertical (descontinuidade infinita).

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