Estude o comportamento da função
em torno de
, nos casos:
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
:
-
. -
.
O que se pede (estudar o comportamento em torno de
):
- Verificar se
está definida em . - Calcular os limites laterais
e . - Concluir que tipo de descontinuidade há em
(removível, salto, infinita/assíntota vertical). - Descrever o sinal (se vai para
ou ) de cada lado.
Passo 2
Primeiro vamos ver onde a função está definida (domínio). O denominador é
. Factorizando:
O denominador é zero quando
ou
. Logo,
NÃO está definida em
. Portanto há alguma descontinuidade possível em
— mas precisamos saber qual.
Passo 3
Avaliar o numerador em
para saber se há cancelamento (caso de descontinuidade removível). Calcular:
Como
, o numerador não se anula em
. Isso significa que não há fator
no numerador para cancelar o fator
do denominador. Conclusão provisória: a descontinuidade em
não é removível (possivelmente é do tipo infinita).
Passo 4
Para determinar o comportamento (limites laterais), é útil escrever
de forma que fique claro o papel de
. Reescrevemos:
Agora observe o fator
. Esse fator tende a um número finito quando
, pois
e
. Especificamente,
Então, perto de
podemos pensar
com o primeiro fator tendendo a
e o segundo fator
explodindo para
conforme o sinal de
.
Passo 5
Calcular os limites laterais usando a decomposição acima.
- Para
(aproximação pela direita), temos muito pequeno, logo . O outro fator tende a . Assim o produto tende a . Logo
- Para
(aproximação pela esquerda), temos muito pequeno, logo . O outro fator continua tendendo a . Assim o produto tende a . Logo
Passo 6
Interpretação e conclusão:
- Os limites laterais são infinitos e de sinais opostos. Portanto o limite
NÃO existe como número real. - A descontinuidade em
é uma descontinuidade infinita do tipo assíntota vertical. - Perto de
o comportamento assintótico pode ser aproximado por
ou seja, diverge aproximadamente como constante sobre
.
Exemplo comparativo didático (para fixar a ideia): se o numerador tivesse sido
(que é zero em
), teríamos fator
no numerador e poderia ocorrer cancelamento, dando uma descontinuidade removível. Aqui não há esse cancelamento, por isso a divergência.