Estude o comportamento da função
em torno de
, nos casos:
Passo 1
O enunciado pede para estudar o comportamento da função
em torno de
. Dados fornecidos:
- A função é
. - O ponto de interesse é
.
O que se quer saber (lista clara de perguntas que vamos responder):
- A função está definida em
ou há singularidade? - Que tipo de singularidade é (se houver): removível, polo (ordem), essencial, etc.?
- Quais são os limites laterais
e ? - Como a função se comporta qualitativamente perto de
(sinais e crescimento)?
Passo 2
Fatorar o denominador e avaliar o numerador em
.
Primeiro fatoramos o polinômio quadrático do denominador:
Logo o denominador elevado à quinta potência é
Agora avaliamos o numerador em
:
Portanto o numerador não se anula em
; tem valor
.
Passo 3
Concluir sobre a existência e a natureza da singularidade.
Visto que o numerador é diferente de zero em
e o denominador é zero em
(porque contém o fator
), a função não está definida em
e tende a infinito quando
se aproxima de
. Como o fator nulo tem potência
, trata-se de um polo de ordem
(um polo é uma singularidade em que a função cresce como uma potência negativa de
).
Passo 4
Determinar a forma dominante de
perto de
.
Perto de
podemos escrever exatamente
Como
, o fator
tende a
. Então o comportamento dominante é obtido substituindo esse fator por
no limite:
onde o símbolo
significa "comportamento assintótico principal quando
".
Passo 5
Calcular os limites laterais usando a forma dominante e discutir sinais.
Observe que
é uma potência ímpar. Então:
- Se
então e . Assim
- Se
então e . Assim
Explicando de forma bem direta: o denominador tende a zero com sinal trocado em cada lado porque a potência é ímpar, e o numerador é positivo (
), daí os sinais opostos nos limites laterais.
Passo 6
Classificação final da singularidade e observações para a prova.
-
é um polo de ordem da função . Isso significa que a função diverge em módulo como quando . - Como a ordem do polo é ímpar, os limites laterais são infinitos com sinais opostos: à esquerda vai para
e à direita para . - A função não é estendida de forma contínua em
(não é removível).
Dica prática para a prova: sempre fatorar o denominador e avaliar o numerador no ponto. Se numerador
e denominador tem fator
, então comportamento é como constante dividido por
; use paridade de
para decidir sinais dos limites.