Estude o comportamento da função h em torno de x_{0}, nos casos:
h(x)=\left(3 x^{4}-1\right) /\left(x^{2}-3 x+2\right)^{5}, x_{0}=1

Passo 1

O enunciado pede para estudar o comportamento da função h em torno de x_{0}=1. Dados fornecidos:
  • A função é h(x)=\dfrac{3x^{4}-1}{(x^{2}-3x+2)^{5}}.
  • O ponto de interesse é x_{0}=1.
O que se quer saber (lista clara de perguntas que vamos responder):
  • A função está definida em x=1 ou há singularidade?
  • Que tipo de singularidade é (se houver): removível, polo (ordem), essencial, etc.?
  • Quais são os limites laterais \lim_{x\to1^-}h(x) e \lim_{x\to1^+}h(x)?
  • Como a função se comporta qualitativamente perto de x=1 (sinais e crescimento)?

Passo 2

Fatorar o denominador e avaliar o numerador em x=1.
Primeiro fatoramos o polinômio quadrático do denominador:
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
Logo o denominador elevado à quinta potência é
(x^{2}-3x+2)^{5}=(x-1)^{5}(x-2)^{5}.
Agora avaliamos o numerador em x=1:
3\cdot1^{4}-1=3-1=2.
Portanto o numerador não se anula em x=1; tem valor \,2.

Passo 3

Concluir sobre a existência e a natureza da singularidade.
Visto que o numerador é diferente de zero em x=1 e o denominador é zero em x=1 (porque contém o fator (x-1)^{5}), a função não está definida em x=1 e tende a infinito quando x se aproxima de 1. Como o fator nulo tem potência 5, trata-se de um polo de ordem 5 (um polo é uma singularidade em que a função cresce como uma potência negativa de (x-x_{0})).

Passo 4

Determinar a forma dominante de h(x) perto de x=1.
Perto de x=1 podemos escrever exatamente
h(x)=\frac{3x^{4}-1}{(x-1)^{5}(x-2)^{5}}.
Como x\to1, o fator (x-2)^{5} tende a (1-2)^{5}=(-1)^{5}=-1. Então o comportamento dominante é obtido substituindo esse fator por -1 no limite:
h(x)\sim \frac{3\cdot1^{4}-1}{(x-1)^{5}\cdot(-1)}=\frac{2}{-\, (x-1)^{5}}=-\frac{2}{(x-1)^{5}},
onde o símbolo \sim significa "comportamento assintótico principal quando x\to1".

Passo 5

Calcular os limites laterais usando a forma dominante e discutir sinais.
Observe que (x-1)^{5} é uma potência ímpar. Então:
  • Se x\to1^+ então x-1>0 e (x-1)^{5}>0. Assim
\lim_{x\to1^+}h(x)=\lim_{x\to1^+}\left(-\frac{2}{(x-1)^{5}}\right)=-\infty.
  • Se x\to1^- então x-1<0 e (x-1)^{5}<0. Assim
\lim_{x\to1^-}h(x)=\lim_{x\to1^-}\left(-\frac{2}{(x-1)^{5}}\right)=+\infty.
Explicando de forma bem direta: o denominador tende a zero com sinal trocado em cada lado porque a potência é ímpar, e o numerador é positivo ( 2), daí os sinais opostos nos limites laterais.

Passo 6

Classificação final da singularidade e observações para a prova.
  • x=1 é um polo de ordem 5 da função h. Isso significa que a função diverge em módulo como |x-1|^{-5} quando x\to1.
  • Como a ordem do polo é ímpar, os limites laterais são infinitos com sinais opostos: à esquerda vai para +\infty e à direita para -\infty.
  • A função não é estendida de forma contínua em x=1 (não é removível).
Dica prática para a prova: sempre fatorar o denominador e avaliar o numerador no ponto. Se numerador \neq0 e denominador tem fator (x-x_{0})^{k}, então comportamento é como constante dividido por (x-x_{0})^{k}; use paridade de k para decidir sinais dos limites.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to1^-}h(x)=+\infty
\displaystyle \lim_{x\to1^+}h(x)=-\infty
x=1 é um polo de ordem 5 da função h.

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