Estude o comportamento da função h em torno de x_{0}, nos casos:
h(x)=\left(2 x^{2}-3\right) /\left(x^{2}-1\right), x_{0}=-1

Passo 1

O enunciado dá a função h e o ponto onde devemos estudar o comportamento:
  • Função: \;h(x)=\dfrac{2x^{2}-3}{x^{2}-1}.
  • Ponto: \;x_{0}=-1.
O que precisamos investigar em torno de \;x_{0}=-1:
  • Se \;x_{0} pertence ao domínio da função.
  • Se existe limite de \;h(x) quando x\to-1, e, se necessário, os limites laterais \lim_{x\to-1^-}h(x) e \lim_{x\to-1^+}h(x).
  • Classificar o tipo de singularidade em x=-1 (por exemplo: assíntota vertical).
  • Descrever qualitativamente o comportamento da função ao se aproximar de x=-1.

Passo 2

Verificar o domínio localmente: o denominador é \;x^{2}-1. Zeros do denominador são as soluções de
x^{2}-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=\pm1.
Portanto \;x=-1 NÃO pertence ao domínio porque o denominador se anula aí. Logo há alguma singularidade em x=-1. Ainda não sabemos que tipo — pode ser removível (cancela com numerador) ou uma assíntota vertical (diverge para infinito). Vamos checar o numerador em x=-1.

Passo 3

Calcular o numerador em x=-1:
2x^{2}-3 \quad\text{em}\quad x=-1 \;\Rightarrow\; 2\cdot(-1)^{2}-3 = 2\cdot1-3 = -1.
O numerador em x=-1 vale -1, ou seja, é diferente de zero. Conclusão: não há fator comum (x+1) que cancele o zero do denominador. Portanto a singularidade em x=-1 não é removível; é do tipo em que o valor da função tende ao infinito quando x se aproxima de -1. Em outras palavras, esperamos uma assíntota vertical em x=-1. Para saber o sinal (±∞) precisamos estudar os limites laterais.

Passo 4

Para entender os limites laterais é útil fazer a substituição pequena \;t=x+1. Assim t\to0 corresponde a x\to-1. Reescrevendo x em termos de t:
x=-1+t,\qquad x^{2}=(-1+t)^{2}=1-2t+t^{2}.
Substituindo em numerador e denominador:
2x^{2}-3 = 2(1-2t+t^{2})-3 = -1 -4t +2t^{2},
x^{2}-1 = (1-2t+t^{2})-1 = -2t + t^{2}.
Portanto
h(x)=\frac{2x^{2}-3}{x^{2}-1}=\frac{-1 -4t +2t^{2}}{-2t + t^{2}}.
Para t muito pequeno (ou seja, x muito perto de -1) os termos dominantes são o termo constante no numerador e o termo linear no denominador. Aproximando para entender o sinal e a ordem de grandeza:
h(x)\approx\frac{-1}{-2t}=\frac{1}{2t}\quad\text{quando }t\to0.
Lembre-se que t=x+1. Agora analisamos os dois lados:
  • Quando x\to-1^{+} temos t\to0^{+}. Então \dfrac{1}{2t}\to+\infty. Logo \displaystyle\lim_{x\to-1^{+}}h(x)=+\infty.
  • Quando x\to-1^{-} temos t\to0^{-}. Então \dfrac{1}{2t}\to-\infty. Logo \displaystyle\lim_{x\to-1^{-}}h(x)=-\infty.
Esse cálculo confirma também a análise de sinal direta: perto de -1 o numerador é negativo (vale -1 em -1) enquanto o denominador muda de sinal ao atravessar -1 (positivo para x<-1, negativo para x>-1), o que produz sinais opostos para os dois limites laterais.

Passo 5

Interpretação final e descrição qualitativa:
  • Em x=-1 a função tem uma assíntota vertical porque os limites laterais divergem (um para +\infty e o outro para -\infty).
  • Mais precisamente, ao aproximar-se de -1 pela direita ( x>-1) a função cresce sem limite (vai para +\infty), e ao aproximar-se pela esquerda ( x<-1) a função decresce sem limite (vai para -\infty).
  • O comportamento assintótico local é aproximadamente \;h(x)\sim\dfrac{1}{2(x+1)} quando x está muito perto de -1. Isso significa que o gráfico se aparenta, perto de -1, com uma hipérbole vertical do tipo 1/(x+1) escalada por 1/2.
Força aí — esse tipo de análise de limite lateral e uso de t=x+1 é a ferramenta-padrão em provas para identificar assíntotas verticais e o sinal das divergências.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to-1^-}h(x)=-\infty
\displaystyle \lim_{x\to-1^+}h(x)=+\infty
Assíntota vertical: x=-1

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