Estude o comportamento da função
em torno de
, nos casos:
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto onde devemos estudar o comportamento:
- Função:
. - Ponto:
.
O que precisamos investigar em torno de
:
- Se
pertence ao domínio da função. - Se existe limite de
quando , e, se necessário, os limites laterais e . - Classificar o tipo de singularidade em
(por exemplo: assíntota vertical). - Descrever qualitativamente o comportamento da função ao se aproximar de
.
Passo 2
Verificar o domínio localmente: o denominador é
. Zeros do denominador são as soluções de
Portanto
NÃO pertence ao domínio porque o denominador se anula aí. Logo há alguma singularidade em
. Ainda não sabemos que tipo — pode ser removível (cancela com numerador) ou uma assíntota vertical (diverge para infinito). Vamos checar o numerador em
.
Passo 3
Calcular o numerador em
:
O numerador em
vale
, ou seja, é diferente de zero. Conclusão: não há fator comum
que cancele o zero do denominador. Portanto a singularidade em
não é removível; é do tipo em que o valor da função tende ao infinito quando
se aproxima de
. Em outras palavras, esperamos uma assíntota vertical em
. Para saber o sinal (±∞) precisamos estudar os limites laterais.
Passo 4
Para entender os limites laterais é útil fazer a substituição pequena
. Assim
corresponde a
. Reescrevendo
em termos de
:
Substituindo em numerador e denominador:
Portanto
Para
muito pequeno (ou seja,
muito perto de
) os termos dominantes são o termo constante no numerador e o termo linear no denominador. Aproximando para entender o sinal e a ordem de grandeza:
Lembre-se que
. Agora analisamos os dois lados:
-
Quando
temos . Então . Logo . -
Quando
temos . Então . Logo .
Esse cálculo confirma também a análise de sinal direta: perto de
o numerador é negativo (vale
em
) enquanto o denominador muda de sinal ao atravessar
(positivo para
, negativo para
), o que produz sinais opostos para os dois limites laterais.
Passo 5
Interpretação final e descrição qualitativa:
- Em
a função tem uma assíntota vertical porque os limites laterais divergem (um para e o outro para ). - Mais precisamente, ao aproximar-se de
pela direita ( ) a função cresce sem limite (vai para ), e ao aproximar-se pela esquerda ( ) a função decresce sem limite (vai para ). - O comportamento assintótico local é aproximadamente
quando está muito perto de . Isso significa que o gráfico se aparenta, perto de , com uma hipérbole vertical do tipo escalada por .
Força aí — esse tipo de análise de limite lateral e uso de
é a ferramenta-padrão em provas para identificar assíntotas verticais e o sinal das divergências.
Resposta
Assíntota vertical: