Calcule
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(3-7 x+4 x^{6}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\left(3-7x+4x^{6}\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é um polinômio: p(x)=3-7x+4x^{6}.
  • Os coeficientes são 3 (termo constante), -7 (coeficiente de x) e 4 (coeficiente do termo de maior grau).
  • O maior grau presente é 6 (do termo 4x^{6}).
  • O limite a avaliar é quando x tende a -\infty.

Passo 2

Ideia principal (em linguagem simples): para polinômios, quando x fica muito grande em módulo, o termo de maior grau domina o comportamento do polinômio. Ou seja, 4x^{6} deve controlar o crescimento quando |x| é grande. Vou mostrar isso de forma algébrica para ficar claro.
Fatora-se o maior fator em potência de x, que é x^{6}. Escrevendo o polinômio fatorado:
3-7x+4x^{6}=x^{6}\left(4-7x^{-5}+3x^{-6}\right),
porque ao multiplicar x^{6} por 4 obtém-se 4x^{6}, por -7x^{-5} obtém-se -7x e por 3x^{-6} obtém-se 3.

Passo 3

Agora analisa-se o comportamento do fator entre parênteses quando x\to -\infty.
Para x\to -\infty valem as seguintes observações:
x^{-5}=\frac{1}{x^{5}}\to 0,\qquad x^{-6}=\frac{1}{x^{6}}\to 0.
(Embora x^{-5} tenda a 0 vindo de valores negativos, o que importa aqui é que ambos tendem a 0.)
Portanto o parêntese tende a
\lim_{x\to -\infty}\left(4-7x^{-5}+3x^{-6}\right)=4.

Passo 4

Agora analisa-se o comportamento de x^{6} quando x\to -\infty.
Como 6 é uma potência par, x^{6} é sempre não negativa e, para |x| grande, cresce sem limite. Logo
\lim_{x\to -\infty}x^{6}=+\infty.
Um exemplo simples para intuir: (-10)^{6}=1\,000\,000>0; conforme x fica mais negativo em módulo, x^{6} fica enorme e positivo.

Passo 5

Combina-se os dois fatos: a expressão foi escrita como produto de x^{6} (que tende a +\infty) pelo parêntese (que tende a 4). Assim
\lim_{x\to -\infty}\left(3-7x+4x^{6}\right) =\lim_{x\to -\infty}x^{6}\cdot\left(4-7x^{-5}+3x^{-6}\right) = \left(\lim_{x\to -\infty}x^{6}\right)\cdot\left(\lim_{x\to -\infty}\left(4-7x^{-5}+3x^{-6}\right)\right).
Como \lim_{x\to -\infty}x^{6}=+\infty e \lim_{x\to -\infty}\left(4-7x^{-5}+3x^{-6}\right)=4, o produto é
+\infty\cdot 4 = +\infty.
Intuitivamente: o termo dominante 4x^{6} cresce para +\infty e os outros termos são negligíveis frente a ele.

Passo 6

Dica rápida para a prova (resumindo): para um polinômio, olhar o termo de maior grau basta. Se o grau for par e o coeficiente líder for positivo, o polinômio tende a +\infty quando x\to\pm\infty. Aqui o grau é 6 (par) e o coeficiente líder é 4>0, logo tende a +\infty.

Resposta

+\infty

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