Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes fornecidas:
- A função é um polinômio:
. - Os coeficientes são
(termo constante), (coeficiente de ) e (coeficiente do termo de maior grau). - O maior grau presente é
(do termo ). - O limite a avaliar é quando
tende a .
Passo 2
Ideia principal (em linguagem simples): para polinômios, quando
fica muito grande em módulo, o termo de maior grau domina o comportamento do polinômio. Ou seja,
deve controlar o crescimento quando
é grande. Vou mostrar isso de forma algébrica para ficar claro.
Fatora-se o maior fator em potência de
, que é
. Escrevendo o polinômio fatorado:
porque ao multiplicar
por
obtém-se
, por
obtém-se
e por
obtém-se
.
Passo 3
Agora analisa-se o comportamento do fator entre parênteses quando
.
Para
valem as seguintes observações:
(Embora
tenda a
vindo de valores negativos, o que importa aqui é que ambos tendem a
.)
Portanto o parêntese tende a
Passo 4
Agora analisa-se o comportamento de
quando
.
Como
é uma potência par,
é sempre não negativa e, para
grande, cresce sem limite. Logo
Um exemplo simples para intuir:
; conforme
fica mais negativo em módulo,
fica enorme e positivo.
Passo 5
Combina-se os dois fatos: a expressão foi escrita como produto de
(que tende a
) pelo parêntese (que tende a
). Assim
Como
e
, o produto é
Intuitivamente: o termo dominante
cresce para
e os outros termos são negligíveis frente a ele.
Passo 6
Dica rápida para a prova (resumindo): para um polinômio, olhar o termo de maior grau basta. Se o grau for par e o coeficiente líder for positivo, o polinômio tende a
quando
. Aqui o grau é
(par) e o coeficiente líder é
, logo tende a
.