Estude o comportamento da série quanto a convergência absoluta, condicional ou divergência.
(Valor=2,5)
sumn=1(-1)^n 2 nraiz(n^3+1)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n,2nraizn^3+1
– ou seja, verificar se ela converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Vamos aplicar primeiro o teste de convergência absoluta (comparação com uma p-série) e depois o teste de Leibniz para séries alternantes.

Passo 2

Considere a série de termos positivos que vem da parte absoluta:
sumn=1^infty 2nraizn^3+1
Para n grande temos
2nraizn^3+1sim 2nraizn^3=2n^1/2
Como sum n^-1/2 é uma p-série com p=tfrac12<1, ela diverge. Pelo teste da comparação assintótica,
sumn=1^infty 2nraizn^3+1
diverge, logo a série original não converge absolutamente.

Passo 3

Agora aplique o teste de Leibniz para a série alternante
sumn=1^infty(-1)^n bn, bn=2nraizn^3+1
  1. bn>0 para todo n.
  2. limntoinftybn=limntoinfty2nraizn^3+1=0, pois o numerador cresce como n e o denominador como n^3/2.
  3. Para ver que bn decresce a partir de certo n, considere
f(x)=2xraizx^3+1,
então
f'(x) =2(x^3+1)-3x^3(x^3+1)^3/2 =2-x^3(x^3+1)^3/2<0 para x>raiz[3]2
Logo bn é decrescente para n>=2.
Pelo teste de Leibniz, a série alternante converge.

Passo 4

Concluímos que a série não converge absolutamente, mas satisfaz os critérios de Leibniz para convergir. Portanto ela converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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