Estude o comportamento da série quanto a convergência absoluta, condicional ou divergência.
(Valor=2,5)
(Valor=2,5)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
– ou seja, verificar se ela converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Vamos aplicar primeiro o teste de convergência absoluta (comparação com uma p-série) e depois o teste de Leibniz para séries alternantes.
Passo 2
Considere a série de termos positivos que vem da parte absoluta:
Para
grande temos
Como
é uma p-série com
, ela diverge. Pelo teste da comparação assintótica,
diverge, logo a série original não converge absolutamente.
Passo 3
Agora aplique o teste de Leibniz para a série alternante
-
para todo . -
, pois o numerador cresce como e o denominador como . - Para ver que
decresce a partir de certo , considere
então
Logo
é decrescente para
.
Pelo teste de Leibniz, a série alternante converge.
Passo 4
Concluímos que a série não converge absolutamente, mas satisfaz os critérios de Leibniz para convergir. Portanto ela converge condicionalmente.
Resposta
A série converge condicionalmente.