Estude a convergência da sequência abaixo:
1 cdot 3 cdot 5 ldots(2 n-1)2 cdot 4 cdot 6 ldots(2 n)

Passo 1

O enunciado pede para a gente estudar a convergência da sequência definida por \ $ an = 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdots (2n) O conteúdo envolve sequências de produtos, limite de sequência e uso de logaritmos e desigualdades para estimar produtos infinitos.

Passo 2

Vamos tomar o logaritmo de cada termo para transformar o produto em soma. Definindo \ $ an = prodk=1^n 2k-12k, temos
$ ln an = sumk=1^n lnl(2k-12kr) = sumk=1^n lnl(1 - 12kr)

Passo 3

Usamos a desigualdade para logaritmo: para todo 0 vale \ $ ln(1 - x) <= -x Aplicando com x = tfrac12k obtemos
$ ln an = sumk=1^n lnl(1 - 12kr) <= -sumk=1^n 12k = -12 sumk=1^n 1k

Passo 4

Sabemos que a soma harmônica \ $ Hn = sumk=1^n 1k diverge (cresce como ln n + gamma). Logo
$ ln an <= -12 Hn longrightarrow -infty (quando ntoinfty)

Passo 5

Isso implica que \ $ ln an to -infty Longrightarrow an to 0 Portanto, a sequência converge e seu limite é zero.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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