Estude a convergência da sequência abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para a gente estudar a convergência da sequência definida por \ $
O conteúdo envolve sequências de produtos, limite de sequência e uso de logaritmos e desigualdades para estimar produtos infinitos.
Passo 2
Vamos tomar o logaritmo de cada termo para transformar o produto em soma. Definindo \ $
temos
$
Passo 3
Usamos a desigualdade para logaritmo: para todo
vale \ $
Aplicando com
obtemos
$
Passo 4
Sabemos que a soma harmônica \ $
diverge (cresce como
). Logo
$
Passo 5
Isso implica que \ $
Portanto, a sequência converge e seu limite é zero.
Resposta
A sequência converge e seu limite é 0.