Estude a continuidade da função:
D(f)=1<x^{2}+y^{2} \leqslant 4
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{y+x^{4}}{x^{2}+y^{2}} & , & \text { SE } \\\\ 0 & , & x^{2}+y^{2}<1 \\\ \text { SE } & 1<x^{2}+y^{2} \leqslant 4 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} 0, & x^{2}+y^{2}<1,\\\ \dfrac{y+x^{4}}{x^{2}+y^{2}}, & 1<x^{2}+y^{2}\le4, \end{cases}
e pede para estudar onde f é contínua. O conteúdo é análise de continuidade de função por partes, verificando interior de cada região e pontos de fronteira de domínio.

Passo 2

Em x^{2}+y^{2}<1 temos f(x,y)=0, constante. Toda função constante é contínua em seu domínio aberto. Logo f é contínua em cada ponto com x^{2}+y^{2}<1.

Passo 3

Em 1<x^{2}+y^{2}\le4 a expressão
\frac{y+x^{4}}{x^{2}+y^{2}}
é quociente de funções polinomiais e o denominador x^{2}+y^{2} nunca é zero nessa região. Portanto também é contínua em todo ponto com 1<x^{2}+y^{2}<4 e, por definição de função por partes, contínua ainda onde x^{2}+y^{2}=4 (pois o limite interno coincide com o valor).

Passo 4

Resta verificar x^{2}+y^{2}=4 e x^{2}+y^{2}=1.
  • Para x^{2}+y^{2}=4, só se aproximar de dentro da região 1<x^{2}+y^{2}\le4. O limite
\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}\frac{y+x^{4}}{x^{2}+y^{2}} =\frac{y_{0}+x_{0}^{4}}{4}
coincide com f(x_{0},y_{0}). Logo há continuidade nessa fronteira.
  • Para x^{2}+y^{2}=1, f não está definido aí, pois a faixa x^{2}+y^{2}<1 exclui a igualdade e a faixa 1<x^{2}+y^{2} também. Portanto não há ponto de continuidade a analisar em x^{2}+y^{2}=1.

Resposta

f é contínua para todos (x,y) tais que
x^{2}+y^{2}<1 \quad\text{ou}\quad 1<x^{2}+y^{2}\le4.
Não há definição nem continuidade em x^{2}+y^{2}=1, e a continuidade em x^{2}+y^{2}=4 está garantida.

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