e pede para estudar onde f é contínua. O conteúdo é análise de continuidade de função por partes, verificando interior de cada região e pontos de fronteira de domínio.
Passo 2
Em x^{2}+y^{2}<1 temos f(x,y)=0, constante. Toda função constante é contínua em seu domínio aberto. Logo f é contínua em cada ponto com x^{2}+y^{2}<1.
Passo 3
Em 1<x^{2}+y^{2}\le4 a expressão
\frac{y+x^{4}}{x^{2}+y^{2}}
é quociente de funções polinomiais e o denominador x^{2}+y^{2} nunca é zero nessa região. Portanto também é contínua em todo ponto com 1<x^{2}+y^{2}<4 e, por definição de função por partes, contínua ainda onde x^{2}+y^{2}=4 (pois o limite interno coincide com o valor).
Passo 4
Resta verificar x^{2}+y^{2}=4 e x^{2}+y^{2}=1.
Para x^{2}+y^{2}=4, só se aproximar de dentro da região 1<x^{2}+y^{2}\le4. O limite
coincide com f(x_{0},y_{0}). Logo há continuidade nessa fronteira.
Para x^{2}+y^{2}=1, f não está definido aí, pois a faixa x^{2}+y^{2}<1 exclui a igualdade e a faixa 1<x^{2}+y^{2} também. Portanto não há ponto de continuidade a analisar em x^{2}+y^{2}=1.