Determine as transformadas das funções abaixo:
f(t)=t^{2}-t e^{-9 t}+5

Passo 1

Temos a função
f(t)=t^{2}-t\,e^{-9t}+5
e queremos sua transformada de Laplace F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}. Vamos usar linearidade da transformada e as fórmulas conhecidas:
  1. \mathcal{L}\{t^{n}\}=\dfrac{n!}{s^{\,n+1}}.
  2. Se \mathcal{L}\{g(t)\}=G(s), então \mathcal{L}\{e^{at}g(t)\}=G(s-a).
  3. \mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}.

Passo 2

Aplicando em t^{2}, temos
\mathcal{L}\{t^{2}\} =\frac{2!}{s^{3}} =\frac{2}{s^{3}}.

Passo 3

Para t\,e^{-9t} usamos o caso de deslocamento: primeiro \mathcal{L}\{t\}=1/s^{2}, depois trocamos s por s+9. Logo,
\mathcal{L}\{t\,e^{-9t}\} =\frac{1}{(s+9)^{2}}.

Passo 4

Para a constante 5, temos
\mathcal{L}\{5\} =5\;\mathcal{L}\{1\} =5\;\frac{1}{s} =\frac{5}{s}.

Passo 5

Usando linearidade, combinamos os três resultados:
F(s) =\mathcal{L}\{t^{2}\} -\mathcal{L}\{t\,e^{-9t}\} +\mathcal{L}\{5\} =\frac{2}{s^{3}} -\frac{1}{(s+9)^{2}} +\frac{5}{s}.

Resposta

F(s) =\frac{2}{s^{3}} -\frac{1}{(s+9)^{2}} +\frac{5}{s}.

Exercícios relacionados