Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial:
\frac{d y}{d x}+3 y=13 \operatorname{sen} 2 t ; y(0)=6 \quad \mid \times 0,8

Passo 1

O enunciado pede para resolver, usando transformada de Laplace, o problema de valor inicial
\frac{dy}{dt}+3y=13\sin(2t),\quad y(0)=6.
O conteúdo principal é EDO linear de 1ª ordem e usaremos as propriedades
\mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0) e \mathcal{L}\{\sin(2t)\}(s)=\tfrac{2}{s^2+4}.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados:
\mathcal{L}\{y'\}(s)+3\mathcal{L}\{y\}(s) =\mathcal{L}\{13\sin(2t)\}(s)
fica
\bigl(sY(s)-6\bigr)+3Y(s) =13\cdot\frac{2}{s^2+4} \;\Longrightarrow\; (s+3)Y(s)-6=\frac{26}{s^2+4}.
Assim
(s+3)Y(s) =6+\frac{26}{s^2+4} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) =\frac{6}{s+3}+\frac{26}{(s+3)(s^2+4)}.

Passo 3

Fazemos frações parciais em
\frac{26}{(s+3)(s^2+4)} =\frac{A}{s+3}+\frac{Bs+C}{s^2+4}.
Temos
26 =A(s^2+4)+(Bs+C)(s+3) =(A+B)s^2+(3B+C)s+(4A+3C).
Igualando coeficientes:
A+B=0,\quad 3B+C=0,\quad4A+3C=26.
Da primeira B=-A; da segunda C=3A; na terceira 4A+3(3A)=13A=26\Rightarrow A=2.
Logo B=-2, C=6 e
\frac{26}{(s+3)(s^2+4)} =\frac{2}{s+3}-\frac{2s}{s^2+4}+\frac{6}{s^2+4}.
Portanto
Y(s) =\frac{6}{s+3}+\frac{2}{s+3}-\frac{2s}{s^2+4}+\frac{6}{s^2+4} =\frac{8}{s+3}-\frac{2s}{s^2+4}+\frac{6}{s^2+4}.

Passo 4

Fazendo a transformada inversa:
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{8}{s+3}\Bigr\} =8e^{-3t}, \quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{-\frac{2s}{s^2+4}\Bigr\} =-2\cos(2t), \quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{6}{s^2+4}\Bigr\} =3\sin(2t).
Somando, obtemos
y(t)=8e^{-3t}-2\cos(2t)+3\sin(2t).

Resposta

y(t)=8e^{-3t}-2\cos(2t)+3\sin(2t).

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