Estude a continuidade da função f: R^2 R definida por

Passo 1

O enunciado pede para estudar a continuidade da função f:R^2toR dada por f(x,y)=x^2-y^2x^2+y^2 se (x,y)neq(0,0) e f(0,0)=0. O conteúdo envolvido é continuidade de funções de duas variáveis: vamos precisar do conceito de limite em várias variáveis e da definição de continuidade (limite igual ao valor da função).

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0), o denominador x^2+y^2 é não nulo, então f(x,y) é quociente de polinômios sem pontos problemáticos. Logo ela é contínua em todos os pontos onde x^2+y^2neq0, isto é, em R^2setminus(0,0).

Passo 3

No ponto (0,0), avaliamos o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0). Se o limite existir e for zero, então f seria contínua aí; caso contrário, não.

Passo 4

Uma forma padrão é analisar caminhos distintos. Seja o caminho y=kx. Temos
x^2 - y^2x^2 + y^2 ,=,x^2 - k^2x^2x^2 + k^2x^2 ,=,1-k^21+k^2
Esse valor depende do parâmetro k. Por exemplo, para k=0 o limite é 1, e para k=1 o limite é 0. Como dois caminhos dão valores diferentes, o limite não existe.

Passo 5

Como o limite não existe em (0,0), a função não pode ser contínua aí.

Resposta

A função é contínua em R^2setminus(0,0) e não é contínua em (0,0).

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