Considere a função f: D subseteq R^2 R dada por f(x, y)=raizx^2+y^2-1.
Classifique se D é um conjunto aberto, fechado, limitado ou compacto. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2} - 1} $ e precisa descobrir se o domínio $ D $ dessa função é aberto, fechado, limitado ou compacto. Para isso, vamos usar conceitos de análise matemática sobre conjuntos no espaço f(x, y) = raizx^2 + y^2 - 1 .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio $ D $ dessa função. Como a função envolve uma raiz quadrada, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero para que a função tenha valores reais. Então, temos:
D
Isso significa que:
x^2 + y^2 - 1 >= 0
Então, o domínio $ D $ é o conjunto de todos os pontos x^2 + y^2 >= 1 no plano que estão na periferia ou fora do círculo de raio 1 centrado na origem.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada uma das propriedades pedidas para o conjunto $ D $:
  1. Aberto: Um conjunto é aberto se todos os seus pontos são pontos interiores. Ou seja, se você tirar um ponto qualquer do conjunto, sempre tem uma “bolinha” ao redor dele que também está dentro do conjunto.
  2. Fechado: Um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos de fronteira. A fronteira é composta por pontos onde o conjunto e seu complemento se encontram.
  3. Limitado: Um conjunto é limitado se ele está contido dentro de algum círculo de raio finito.
  4. Compacto: No D , um conjunto é compacto se ele for fechado e limitado.

Passo 4

Vamos verificar se $ D $ é aberto. Considerando que a desigualdade é D , os pontos onde >= também estão incluídos no conjunto. Se escolhermos um ponto exatamente na fronteira (onde x^2 + y^2 = 1), não consigo encontrar uma bolinha ao redor desse ponto que esteja totalmente dentro de $ D $, porque parte dela ficará fora. Então, $ D $ não é aberto.

Passo 5

Agora, vamos ver se $ D $ é fechado. O conjunto inclui todos os pontos onde D , ou seja, ele contém a fronteira do círculo. Além disso, o limite de uma sequência de pontos em $ D $ também estará em $ D $. Portanto, $ D $ é fechado.

Passo 6

Para saber se $ D $ é limitado, precisamos verificar se ele está contido dentro de algum círculo de raio finito. Porém, como $ D $ inclui todos os pontos com D , ele se estende infinitamente em todas as direções. Não há um limite máximo para D e x^2 + y^2 >= 1. Assim, $ D $ não é limitado.

Passo 7

Finalmente, vamos analisar se $ D $ é compacto. Como já vimos que $ D $ é fechado, mas não é limitado, não atende aos critérios para ser compacto (que precisa ser fechado e limitado). Então, $ D $ não é compacto.

Resposta

O domínio $ D $ é fechado, mas não é aberto, não é limitado e, portanto, não é compacto.

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