Estude a continuidade das funções:
(a) f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}x^{2}+y^{2}+1, x^{2}+y^{2} \leq 4 \\\\ 0, x^{2}+y^{2}>4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x,y)=\begin{cases} x^{2}+y^{2}+1, & x^{2}+y^{2}\leq 4,\\[4pt] 0, & x^{2}+y^{2}>4. \end{cases}
O que nos pedem: estudar a continuidade de f em todos os pontos do plano.
Dados relevantes que já temos no enunciado:
\text{a região }D_{\text{int}}=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}<4\}, \qquad \text{o círculo fronteira }C=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=4\},ãí
\text{e a região exterior }D_{\text{ext}}=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}>4\}.ã
Queremos determinar em quais pontos f é contínua e em quais não é.]

Passo 2

Lembrete didático sobre continuidade em \mathbb{R}^{2}: uma função f é contínua em um ponto (a,b) se
\lim_{(x,y)\to (a,b)} f(x,y)=f(a,b).
Isto significa que, ao aproximarmos (x,y) de (a,b) por qualquer caminho, os valores f(x,y) devem convergir para o valor f(a,b). Dois fatos úteis (que usamos direto porque são básicos e fáceis de lembrar):
  • polinômios em x,y (como x^{2}+y^{2}+1) são contínuos em todo \mathbb{R}^{2};
  • funções constantes (como 0) são contínuas em todo \mathbb{R}^{2}.
    Com isso, se tivermos um ponto que possui uma pequena vizinhança inteiramente dentro de uma das duas partes da definição, f será contínua nesse ponto.

Passo 3

Continuidade em pontos do interior do disco \{x^{2}+y^{2}<4\}.
Se (a,b) satisfaz (a^{2}+b^{2})<4, então defina r_{0}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}. Note que 2-r_{0}>0. Se escolhermos
\delta = 2-r_{0},
então para todo (x,y) com \sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}<\delta temos
\sqrt{x^{2}+y^{2}}\le r_{0}+\delta = r_{0} + (2-r_{0}) = 2,
logo x^{2}+y^{2}<4 (na verdade \le 4 se atingisse a igualdade, mas com \delta ligeiramente menor garantimos <4). Assim existe uma vizinhança de (a,b) onde f(x,y)=x^{2}+y^{2}+1. Como essa expressão é polinomial em x,y, ela é contínua; portanto f é contínua em todo ponto com a^{2}+b^{2}<4.

Passo 4

Continuidade em pontos do exterior \{x^{2}+y^{2}>4\}.
Se (a,b) satisfaz (a^{2}+b^{2})>4, defina r_{0}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}. Agora r_{0}-2>0. Escolha
\delta = r_{0}-2.
Para todo (x,y) com \sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}<\delta temos
\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge r_{0}-\delta = r_{0}-(r_{0}-2)=2,
portanto x^{2}+y^{2}>4 (novamente, com cuidado em escolher \delta estritamente menor obtemos >4). Nessa vizinhança f(x,y)=0, constante, e constantes são contínuas. Logo f é contínua em todo ponto com a^{2}+b^{2}>4.

Passo 5

Verificação na fronteira C=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=4\}. Aqui é onde pode ocorrer problema porque à esquerda e à direita da fronteira a função toma fórmulas diferentes. Seja um ponto arbitrário (a,b) com a^{2}+b^{2}=4. Pelo enunciado o valor da função nesse ponto é
f(a,b)=a^{2}+b^{2}+1=4+1=5.
Para mostrar descontinuidade, basta mostrar que existem caminhos que se aproximam de (a,b) produzindo limites diferentes. Construímos duas sequências radiais (isto é, na direção do vetor (a,b)):
Defina a sequência interna
P_{n}^{\text{in}}=\big((1-\tfrac{1}{n})a,\,(1-\tfrac{1}{n})b\big).
Então \|P_{n}^{\text{in}}\|=(1-\tfrac{1}{n})\cdot 2<2, isto é, P_{n}^{\text{in}} está dentro do disco, e P_{n}^{\text{in}}\to (a,b) quando n\to\infty. Para esses pontos vale
f(P_{n}^{\text{in}})=\big((1-\tfrac{1}{n})^{2}\cdot 4\big)+1 =5-\tfrac{8}{n}+\tfrac{4}{n^{2}}\xrightarrow[n\to\infty]{}5.
Agora a sequência externa
P_{n}^{\text{out}}=\big((1+\tfrac{1}{n})a,\,(1+\tfrac{1}{n})b\big).
Temos \|P_{n}^{\text{out}}\|=(1+\tfrac{1}{n})\cdot 2>2, logo P_{n}^{\text{out}} está fora do disco, e P_{n}^{\text{out}}\to (a,b). Para esses pontos vale
f(P_{n}^{\text{out}})=0\xrightarrow[n\to\infty]{}0.
Portanto os limites por caminhos que se aproximam de (a,b) são diferentes: existe um caminho com limite 5 (pela interior) e outro com limite 0 (pela exterior). Logo
\lim_{(x,y)\to (a,b)} f(x,y)
não existe, em particular não é igual a f(a,b)=5. Conclusão: f é descontínua em qualquer ponto da fronteira C.

Passo 6

Resumo e interpretação final: f é contínua em todas as partes onde a definição é dada por uma única expressão numa vizinhança (interior do disco e região exterior), e é descontínua em todos os pontos da fronteira onde as duas partes se encontram. Intuitivamente: dentro do disco a função vale algo perto de 5 quando nos aproximamos do círculo; vindo de fora ela vale sempre 0; isso cria um “salto” na fronteira.

Resposta

A função f é contínua para \;x^{2}+y^{2}<4\; e para \;x^{2}+y^{2}>4\;, e é descontínua para todos os pontos com \;x^{2}+y^{2}=4\;.

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