Teste a continuidade de f(x, y) em (0,0) se:
(c) f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{2 x^{2} y}{3 x^{2}+3 y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: testar a continuidade de f(x,y)\) em \((0,0)\). As informações dadas são: \[f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{2x^{2}y}{3x^{2}+3y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
Ou seja, precisamos verificar se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
existe e é igual a (f(0,0)=0].]

Passo 2

Primeiro vou lembrar a definição que vou usar (com calma): dizer que f é contínua em (0,0) significa que o limite de f(x,y) quando (x,y) tende a (0,0) existe e vale 0. Em linguagem curta:
f\\ \text{é contínua em}\\ (0,0)\quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.éí
Para provar isso precisamos mostrar que, independentemente de como (x,y) se aproxima de (0,0), o valor de f(x,y) tende a 0.

Passo 3

Escolho usar coordenadas polares porque o denominador é 3x^2+3y^2=3(x^2+y^2), que é natural em termos de r^2=x^2+y^2. Em coordenadas polares substituímos
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge0 e \theta é o ângulo. A ideia é escrever f em termos de r e \theta e ver o que acontece quando r\to0 (isso corresponde a (x,y)\to(0,0)).

Passo 4

Faço a substituição em f(x,y) para (x,y)\neq(0,0):
\text{numerador} = 2x^2 y = 2 (r\cos\theta)^2 (r\sin\theta) = 2 r^3 \cos^2\theta \sin\theta,
\text{denominador} = 3x^2+3y^2 = 3r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=3r^2.
Logo, para r>0,
f(r,\theta)=\frac{2 r^3 \cos^2\theta \sin\theta}{3 r^2}=\frac{2r\cos^2\theta\sin\theta}{3}.

Passo 5

Agora analiso o comportamento quando r\to0. Para qualquer \theta fixo temos
\left|f(r,\theta)\right|=\left|\frac{2r\cos^2\theta\sin\theta}{3}\right| =\frac{2r}{3}\,|\cos^2\theta\sin\theta|.
Observando que |\cos^2\theta\sin\theta|\le 1 (porque |\cos\theta|\le1 e |\sin\theta|\le1), obtemos o majorante simples
\left|f(r,\theta)\right|\le \frac{2r}{3}.
Como \displaystyle \frac{2r}{3}\to 0 quando r\to0, pela desigualdade em módulo (ou pelo Teorema do Aperto / Teorema do Sanduíche no contexto apropriado) concluímos que
\lim_{r\to0} f(r,\theta)=0
uniformemente em \theta. Em termos cartesianas isso significa \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
(Pequena intuição: a dependência dominante é linear em r após simplificar; então ao fazer r pequeno f fica pequeno independentemente do ângulo.)

Passo 6

Como o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existe e é igual a 0, e f(0,0)=0 por definição da função, temos que f é contínua em (0,0).

Passo 7

Para reforçar (só para você se sentir seguro): se aproximarmos por uma reta y=mx com x\to0, substituindo y=mx temos
f(x,mx)=\frac{2x^2(mx)}{3x^2+3m^2x^2}=\frac{2mx^3}{3x^2(1+m^2)}=\frac{2m}{3(1+m^2)}x\to0,
o que bate com o que provamos em polares. Isso mostra que várias aproximações concretas também dão 0.

Resposta

A função f é contínua em (0,0).

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