Q.4: Estude a continuidade das funções nos itens a seguir.
Determine, se possível, valores de a, b in R para que a função f seja contínua em x=5.
f(x)= raizx-raiz5raizx+5-raiz10, & se x>5 log (a x), & se x=5 b x^2-50, & se x<5

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= raizx-raiz5raizx+5-raiz10, & x>5,[1ex] log(ax), & x=5,[0.5ex] bx^2-50, & x<5,
e pede valores de a,binR para que f seja contínua em x=5. Para isso precisamos que
limxto5^-f(x) =;f(5) =;limxto5^+f(x)
]

Passo 2

Calculemos o limite pela direita
limxto5^+raizx-raiz5raizx+5-raiz10
Racionalizando numerador e denominador:
raizx-raiz5 =x-5raizx+raiz5, raizx+5-raiz10 =x-5raizx+5+raiz10,
logo para xneq5
raizx-raiz5raizx+5-raiz10 =x-5raizx+raiz5 x-5raizx+5+raiz10 =raizx+5+raiz10raizx+raiz5
Assim
limxto5^+f(x) =raiz10+raiz10raiz5+raiz5 =2raiz102raiz5 =raiz2

Passo 3

Calculemos o limite pela esquerda, usando a parte polinomial:
limxto5^-(bx^2-50) =bcdot5^2-50 =25b-50

Passo 4

Para continuidade em x=5 precisamos
25b-50=raiz2,
de onde
b=raiz2+5025

Passo 5

Ainda pela condição de continuidade, o valor em x=5 deve ser
f(5)=log(5a)=raiz2,
portanto
5a=e^raiz2 Longrightarrow a=e^raiz25

Resposta

a=e^raiz25, b=raiz2+5025

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