Q.4: Estude a continuidade das funções nos itens a seguir.
Determine, se possível, valores de a, b in R para que a função f seja contínua em x=0.
f(x)= x^2+b, & se x<0 x+3, & se x=0 sen(a x)x, & se x>0

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= x^2+b, & x<0, x+3, & x=0, sin(ax)x, & x>0,
e pede valores de a,binR tais que f seja contínua em x=0. Para isso, vamos usar a definição de continuidade em um ponto:
limxto0^-f(x) =limxto0^+f(x) =f(0)

Passo 2

Calculamos f(0) diretamente do enunciado:
f(0)=0+3=3
Então queremos
limxto0^-f(x)=3 e limxto0^+f(x)=3

Passo 3

Para xto0^-, vale o ramo f(x)=x^2+b. Logo
limxto0^-f(x) =limxto0(x^2+b) =b
Para ser igual a 3, precisamos de
b=3

Passo 4

Para xto0^+, vale o ramo f(x)=sin(ax)x. Usamos o limite clássico:
limxto0^+sin(ax)x =limxto0^+a;sin(ax)ax =acdot1 =a
Para ter continuidade, exigimos que isso seja 3, ou seja
a=3

Resposta

a=3 e b=3.

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