Teste a continuidade de f(x, y) em (0,0) se:
(b) f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^{9} y}{\left(x^{6}+y^{2}\right)^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para testar a continuidade de f(x,y)\) em \((0,0)\). A função é dada por \[f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^{9}y}{\left(x^{6}+y^{2}\right)^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • Valor de f\] em \((0,0) é 0.
  • Para (x,y)\neq(0,0) a expressão é \dfrac{x^{9}y}{\left(x^{6}+y^{2}\right)^{2}}.
    A pergunta explícita é: a função é contínua em (0,0)?]

Passo 2

Lembrete da definição: f é contínua em (0,0) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0.
Então preciso analisar o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0). Estratégia didática: se eu encontrar duas trajetórias (caminhos) de aproximação a (0,0) que produzam limites diferentes, isso já basta para concluir que o limite total não existe e, portanto, f não é contínua aí. Vou usar esse método porque é simples e muito eficaz quando a expressão tem termos com potências diferentes em x e y.

Passo 3

Verifico primeiro o caminho simples y=0. Substituindo y=0 em \dfrac{x^{9}y}{(x^{6}+y^{2})^{2}} obtemos
f(x,0)=\frac{x^{9}\cdot 0}{\left(x^{6}+0^{2}\right)^{2}}=0.
Portanto, ao longo de y=0 o limite quando x\to 0 é 0.

Passo 4

Procuro um caminho que equilibre as ordens de x^{6} e y^{2} no denominador. Note que x^{6} tem ordem x^{6} e y^{2} tem ordem (\text{ordem de }y)^2. Uma escolha natural é parametrizar y como y=kx^{3} com k\in\mathbb{R}, porque então y^{2}=k^{2}x^{6} e ambos os termos do parênteses ficam da mesma ordem em x. Vou explicar: essa escolha simplifica a expressão e mostra se o limite depende de k.

Passo 5

Substituo y=kx^{3} na expressão (considerando x\to 0):
\begin{aligned} f(x,kx^{3}) &=\frac{x^{9}\cdot (kx^{3})}{\bigl(x^{6}+(kx^{3})^{2}\bigr)^{2}} =\frac{k x^{12}}{\bigl(x^{6}+k^{2}x^{6}\bigr)^{2}}\\[6pt] &=\frac{k x^{12}}{\bigl(x^{6}(1+k^{2})\bigr)^{2}} =\frac{k x^{12}}{x^{12}(1+k^{2})^{2}} =\frac{k}{(1+k^{2})^{2}}. \end{aligned}
Isso mostra que, ao longo da reta curva y=kx^{3}, o valor da função tende para a constante \dfrac{k}{(1+k^{2})^{2}} quando x\to 0.]

Passo 6

Observação importante: a constante \dfrac{k}{(1+k^{2})^{2}} depende de k. Por exemplo:
  • Para k=0 (que é o caminho y=0) o limite é 0.
  • Para k=1 (caminho y=x^{3}) o limite é \dfrac{1}{(1+1)^{2}}=\dfrac{1}{4}\neq 0.
    Como encontrei dois caminhos que levam a limites diferentes ( 0 e \tfrac{1}{4}), o limite global
    \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe.

Passo 7

Conclusão lógica: se o limite quando (x,y)\to(0,0) não existe, então não pode ser igual ao valor da função em (0,0), que é 0. Logo f não é contínua em (0,0).

Resposta

A função não é contínua em (0,0), pois \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe (por exemplo, ao longo de y=kx^{3} obtém-se \dfrac{k}{(1+k^{2})^{2}}, que depende de k).

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