Determinar o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim substackx 2 y 1 x^4-y^4x^2+y^2,

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=x^4-y^4x^2+y^2
quando (x,y)to(2,1). Este é um exercício de cálculo de limite de função de várias variáveis, e vamos usar a propriedade de continuidade em pontos onde o denominador não zera.

Passo 2

Verificamos que no ponto (2,1) o denominador x^2+y^2 vale 2^2+1^2=5, que é diferente de zero. Como f é quociente de funções polinomiais com denominador não nulo em torno de (2,1), ela é contínua nesse ponto.

Passo 3

Pela continuidade, podemos substituir (x,y)=(2,1) diretamente:
lim(x,y)to(2,1)x^4-y^4x^2+y^2 =2^4-1^42^2+1^2 =16-14+1 =155 =3

Resposta

3

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