Exercício 4. (Apostol, capítulo 8.5, exercício 4 e 7)
Mostre que um intervalo fechado
de
é um conjunto fechado.
Mostre que um intervalo fechado
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o intervalo fechado
é um conjunto fechado. Vamos usar a definição topológica: um conjunto
é fechado se o seu complementar
for aberto.
Passo 2
Calculemos o complementar de
. Em
vale
Sabemos que todo intervalo aberto
é aberto, e do mesmo modo
é aberto. A união de dois conjuntos abertos continua aberta.
Passo 3
Como
é a união de dois intervalos abertos, concluímos que
é aberto. Pelo critério de conjuntos fechados, isso implica que
é fechado.
Resposta
O complemento de
é
, que é aberto. Logo
é fechado.