Exercício 4. (Apostol, capítulo 8.5, exercício 4 e 7)
Mostre que um intervalo fechado [a, b] de R é um conjunto fechado.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o intervalo fechado [a,b]subsetR é um conjunto fechado. Vamos usar a definição topológica: um conjunto CsubsetR é fechado se o seu complementar Rsetminus C for aberto.

Passo 2

Calculemos o complementar de [a,b]. Em R vale
Rsetminus [a,b] =xinRmid x<a;cup;xinRmid x>b =(-infty,a);cup;(b,infty)
Sabemos que todo intervalo aberto (-infty,a) é aberto, e do mesmo modo (b,infty) é aberto. A união de dois conjuntos abertos continua aberta.

Passo 3

Como Rsetminus [a,b] é a união de dois intervalos abertos, concluímos que Rsetminus [a,b] é aberto. Pelo critério de conjuntos fechados, isso implica que [a,b] é fechado.

Resposta

O complemento de [a,b] é (-infty,a)cup(b,infty), que é aberto. Logo [a,b] é fechado.

Exercícios relacionados